11.º anoPercurso edumaterial
O que vais aprender
- Relacionar raízes e fatores de polinómios.
Compreender
Agrupar dá x²(x−3)−4(x−3)=(x²−4)(x−3)=(x−2)(x+2)(x−3). As raízes reais são 2, −2 e 3. Uma raiz r satisfaz p(r)=0 e corresponde ao fator x−r. Substituir diretamente, por exemplo p(2)=8−12−8+12=0, verifica os sinais e protege contra um erro na fatorização.
O grau três limita a três as raízes complexas contadas com multiplicidade; aqui há três raízes simples. No gráfico, a função cruza o eixo horizontal em cada uma. Se um problema aplicado exigir x≥0, −2 continua raiz algébrica, mas deixa de ser solução admissível nesse contexto. O domínio da aplicação não altera a identidade polinomial.
Exemplo resolvido
Fatoriza q(x)=x³−4x²−x+4 e encontra as raízes reais.
- Agrupamos: x²(x−4)−1(x−4)=(x²−1)(x−4).
- Usamos a diferença de quadrados: x²−1=(x−1)(x+1).
- O produto é (x−1)(x+1)(x−4); cada fator pode anular-se e fornece uma raiz.
q(x)=(x−1)(x+1)(x−4), com raízes 1, −1 e 4.
Atenção ao erro
Uma raiz negativa deixa de ser raiz do polinómio se o contexto exigir x positivo.
Verifica agora
Retoma o caso da explicação: Fatoriza p.
Ver solução explicada
Resposta: p(x)=(x−2)(x+2)(x−3).
Agrupa e usa diferença de quadrados.
Retoma o caso da explicação: Quais são as raízes?
Ver solução explicada
Resposta: −2, 2 e 3.
Anula os fatores.
Retoma o caso da explicação: Verifica x=3.
Ver solução explicada
Resposta: p(3)=27−27−12+12=0.
Substitui na expressão original.
Retoma o caso da explicação: Se x≥0, que raiz rejeitas no contexto?
Ver solução explicada
Resposta: −2, embora seja raiz do polinómio.
Separa álgebra de admissibilidade.
Alinhamento curricular e fontes
- Funções polinomiais — 11.º ano, página 28. Objetivo oficial parafraseado: Relacionar raízes e fatores de polinómios.. O exemplo, a sequência e os exercícios são editoriais. · Aprendizagens Essenciais · matematica-a · 11-ano