11.º anoPercurso edumaterial
O que vais aprender
- Modelar fenómenos periódicos com funções trigonométricas.
Compreender
O valor 2 m é a linha média e 0,8 m a amplitude; o modelo varia entre 1,2 m e 2,8 m. O seno repete-se quando o argumento aumenta 2π. Como o argumento é πt/6, o período é 12 h. A amplitude não altera o período. Em t=0 a altura é 2 m e inicialmente cresce. O primeiro máximo ocorre quando πt/6=π/2, isto é, t=3 h.
Marés reais não são sinusoides exatas nem mantêm parâmetros idênticos em todas as costas. Se a origem do tempo mudasse, poderia surgir uma fase. Ler um gráfico sem unidades confunde horas, metros e radianos: o seno recebe ângulo em radianos, enquanto t é tempo. O modelo só se usa sob as hipóteses declaradas.
Exemplo resolvido
Uma oscilação idealizada segue h(t)=3+1,2 sen(πt/4), com t em horas e h em metros. Indica linha média, amplitude, período e primeiro máximo para t≥0.
- A constante 3 é a linha média e o coeficiente 1,2 é a amplitude; a altura varia entre 1,8 e 4,2 m.
- O seno repete-se quando πt/4 aumenta 2π. Da equação πT/4=2π obtemos T=8 h.
- O primeiro máximo acontece quando πt/4=π/2, portanto t=2 h. Nesse instante h(2)=4,2 m.
Linha média 3 m, amplitude 1,2 m, período 8 h e primeiro máximo de 4,2 m às 2 h.
Atenção ao erro
Amplitude 0,8 m significa oscilação total de 0,8 m.
Verifica agora
Retoma o caso da explicação: Qual é a amplitude?
Ver solução explicada
Resposta: 0,8 m, distância entre linha média e extremo.
Não confunde com variação total.
Retoma o caso da explicação: Qual é o período?
Ver solução explicada
Resposta: 12 h, pois (π/6)T=2π.
Usa repetição do seno.
Retoma o caso da explicação: Primeiro máximo após t=0?
Ver solução explicada
Resposta: t=3 h, argumento π/2.
Resolve a condição do máximo.
Retoma o caso da explicação: Altura mínima?
Ver solução explicada
Resposta: 2−0,8=1,2 m.
Usa sen∈[−1,1].
Alinhamento curricular e fontes
- Trigonometria — 11.º ano, página 14. Objetivo oficial parafraseado: Modelar fenómenos periódicos com funções trigonométricas.. O exemplo, a sequência e os exercícios são editoriais. · Aprendizagens Essenciais · matematica-a · 11-ano