12.º anoPercurso edumaterial
O que vais aprender
- Aplicar o método da bisseção a uma função contínua.
Compreender
A função polinomial é contínua. Como f(1)=−1 e f(2)=6, o teorema do valor intermédio garante ao menos uma raiz entre os extremos. O ponto médio é 1,5 e f(1,5)=1,375>0; a mudança de sinal fica em [1; 1,5]. O médio seguinte é 1,25 e f(1,25)=−0,046875<0; a raiz passa a estar em [1,25; 1,5]. Cada passo reduz a largura do intervalo a metade.
A bisseção fornece aproximação com erro controlável pelo comprimento do intervalo, desde que se mantenha a continuidade e sinais opostos. Não encontra todas as raízes de uma função arbitrária com um só intervalo. Aqui f é estritamente crescente, pois x³ cresce, pelo que a raiz é única. É distinta de apenas arredondar um gráfico a olho.
Exemplo resolvido
Aplica duas bisseções a f(x)=x²−3 no intervalo [1,2]. Que intervalo final ainda contém uma raiz?
- A função é contínua; f(1)=−2 e f(2)=1 têm sinais opostos.
- O primeiro ponto médio é 1,5, com f(1,5)=−0,75; conservamos [1,5;2].
- O segundo ponto médio é 1,75, com f(1,75)=0,0625; conservamos [1,5;1,75].
Após duas bisseções, uma raiz permanece no intervalo [1,5;1,75].
Atenção ao erro
A mudança de sinal garante uma raiz mesmo para função descontínua.
Verifica agora
Retoma o caso da explicação: Verifica os sinais iniciais.
Ver solução explicada
Resposta: f(1)=−1; f(2)=6.
Confirma mudança de sinal.
Retoma o caso da explicação: Qual o primeiro ponto médio e sinal?
Ver solução explicada
Resposta: 1,5; f(1,5)=1,375>0.
Calcula cúbica e subtrai 2.
Retoma o caso da explicação: Novo intervalo após o primeiro passo?
Ver solução explicada
Resposta: [1; 1,5], onde os sinais continuam opostos.
Conserva o subintervalo adequado.
Retoma o caso da explicação: Após avaliar 1,25, qual o intervalo?
Ver solução explicada
Resposta: [1,25; 1,5], pois f(1,25)=−0,046875.
Atualiza a extremidade negativa.
Alinhamento curricular e fontes
- Continuidade e métodos numéricos — 12.º ano, página 29. Objetivo oficial parafraseado: Aplicar o método da bisseção a uma função contínua.. O exemplo, a sequência e os exercícios são editoriais. · Aprendizagens Essenciais · matematica-a · 12-ano