12.º anoPercurso edumaterial
O que vais aprender
- Ler e operar com um número complexo simples sem confundir i com uma variável real.
Compreender
Um número complexo na forma algébrica escreve-se a+bi, com a e b reais e i²=−1. Para z=3+2i, a parte real é 3 e a parte imaginária é 2. O ponto que o representa no plano de Argand-Gauss tem coordenadas (3,2). O eixo vertical mostra o coeficiente de i, não a expressão 2i como se fosse uma distância com unidade física.
O conjugado de z obtém-se trocando o sinal da parte imaginária: z̄=3−2i. No plano, os dois pontos (3,2) e (3,−2) são simétricos em relação ao eixo real. A soma z+z̄=6 é real, porque as parcelas imaginárias se anulam. O produto z·z̄=(3+2i)(3−2i)=9−4i²=13, usando i²=−1.
Um erro frequente é substituir i² por 1, obtendo cinco no produto, ou dizer que a parte imaginária é 2i em vez do número real 2. Convém escrever explicitamente cada passo da distributiva. O módulo de z seria √13, pois a distância à origem decorre de 3²+2²; esse valor confirma o produto z·z̄=|z|². O exemplo fixa apenas operações algébricas elementares e não exige forma trigonométrica.
Exemplo resolvido
A figura ilustra outro par conjugado. Para w=4−i, identifica as partes real e imaginária, o conjugado e o produto w·conj(w).
- Na forma a+bi, temos a=4 e b=−1; logo Re(w)=4 e Im(w)=−1.
- O conjugado troca o sinal do coeficiente imaginário: conj(w)=4+i.
- Multiplicamos: (4−i)(4+i)=16−i²=17, usando i²=−1.
Re(w)=4, Im(w)=−1, conj(w)=4+i e w·conj(w)=17.
Atenção ao erro
Não verificar as condições do caso.
Verifica agora
Retoma o caso da explicação: Qual é a parte real de z?
Ver solução explicada
Resposta: 3.
Lê o termo sem i.
Retoma o caso da explicação: Qual é a parte imaginária de z?
Ver solução explicada
Resposta: 2.
Lê o coeficiente real de i.
Retoma o caso da explicação: Escreve o conjugado.
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Resposta: 3−2i.
Troca apenas o sinal da parte imaginária.
Retoma o caso da explicação: Calcula z·z̄.
Ver solução explicada
Resposta: 13.
Usa diferença de quadrados e i²=−1.
Alinhamento curricular e fontes
- Representar números complexos na forma algébrica e identificar parte real, imaginária e conjugado., página 13. Objetivo oficial parafraseado: Representar números complexos na forma algébrica e identificar parte real, imaginária e conjugado.. O exemplo, a sequência e os exercícios são editoriais. · Aprendizagens Essenciais · matematica-a · 12-ano