12.º anoPercurso edumaterial
O que vais aprender
- Resolver equações exponenciais e interpretar logaritmos.
Compreender
N(0)=200. Para encontrar quando chega a 450, divide-se por 200: 1,5^t=2,25=1,5², logo t=2 dias. Se o alvo fosse 500, seria necessário t=ln(2,5)/ln(1,5), cerca de 2,26 dias. O logaritmo responde à pergunta «qual expoente?». A base 1,5 é maior que 1, portanto a função é crescente; um alvo inferior a 200 corresponderia a t negativo no modelo algébrico, fora do tempo físico definido.
A previsão contínua entre dias pode ser útil, mas uma contagem real de organismos é inteira e a razão de crescimento não se mantém indefinidamente por limitação de recursos. Alterar a base para 0,5 representaria decaimento, não crescimento. É preciso declarar unidade temporal antes de interpretar o expoente e conferir a solução na expressão original.
Exemplo resolvido
Uma cultura idealizada segue M(t)=100·2^t, com t em dias. Quando atinge 500 unidades no modelo contínuo?
- Igualamos ao alvo e dividimos por 100: 100·2^t=500 implica 2^t=5.
- Aplicamos logaritmos: t·ln 2=ln 5, logo t=ln 5/ln 2≈2,32.
- A solução é positiva e, substituída em 100·2^t, devolve aproximadamente 500; o modelo não garante essa contagem exata numa cultura real.
O alvo de 500 unidades é atingido cerca de 2,32 dias após o início do modelo contínuo.
Atenção ao erro
ln(2,5)/ln(1,5) é o número de organismos.
Verifica agora
Retoma o caso da explicação: Qual é N(2)?
Ver solução explicada
Resposta: 200×1,5²=450.
Calcula a potência antes de multiplicar.
Retoma o caso da explicação: Quando N(t)=450?
Ver solução explicada
Resposta: t=2 dias, porque 450/200=2,25=1,5².
Isola a potência.
Retoma o caso da explicação: Escreve o tempo para N=500.
Ver solução explicada
Resposta: t=ln(2,5)/ln(1,5)≈2,26 dias.
Aplica logaritmos à igualdade.
Retoma o caso da explicação: O modelo cresce ou decresce?
Ver solução explicada
Resposta: Cresce, porque a base 1,5>1.
Relaciona base e monotonia.
Alinhamento curricular e fontes
- Funções exponenciais e logarítmicas — 12.º ano, página 24. Objetivo oficial parafraseado: Resolver equações exponenciais e interpretar logaritmos.. O exemplo, a sequência e os exercícios são editoriais. · Aprendizagens Essenciais · matematica-a · 12-ano