12.º anoPercurso edumaterial
O que vais aprender
- Representar complexos em forma trigonométrica.
Compreender
O módulo é |z|=√[(-1)²+1²]=√2. O ponto fica no segundo quadrante, portanto um argumento principal é 3π/4, não −π/4. A forma trigonométrica é z=√2(cos(3π/4)+i sen(3π/4)). Substituir os valores trigonométricos recupera −1+i. Todos os argumentos são 3π/4+2kπ, com k inteiro; escolher um deles não cria outro número complexo.
Multiplicar complexos em forma trigonométrica multiplica módulos e soma argumentos. Esta regra ajuda a calcular potências: z² tem módulo 2 e argumento 3π/2, resultando −2i, o que também se verifica por (−1+i)²=−2i. O complexo zero não tem argumento definido; a forma módulo-argumento requer cuidado nesse caso.
Exemplo resolvido
Representa w=−2+2i em forma trigonométrica e calcula w².
- O módulo é |w|=√[(-2)²+2²]=2√2 e o ponto (−2,2) está no segundo quadrante.
- Um argumento é 3π/4, logo w=2√2(cos(3π/4)+i sen(3π/4)).
- Ao elevar ao quadrado, o módulo passa a 8 e o argumento a 3π/2; 8(cos(3π/2)+i sen(3π/2))=−8i.
w tem módulo 2√2 e argumento 3π/4; w²=−8i.
Atenção ao erro
O argumento de −1+i é −π/4 porque as coordenadas têm o mesmo valor absoluto.
Verifica agora
Retoma o caso da explicação: Calcula |z|.
Ver solução explicada
Resposta: √[(-1)²+1²]=√2.
Usa as duas coordenadas.
Retoma o caso da explicação: Indica um argumento principal.
Ver solução explicada
Resposta: 3π/4, porque z está no segundo quadrante.
Respeita sinais real e imaginário.
Retoma o caso da explicação: Escreve a forma trigonométrica.
Ver solução explicada
Resposta: √2(cos 3π/4+i sen 3π/4).
Combina módulo e argumento.
Retoma o caso da explicação: Calcula z².
Ver solução explicada
Resposta: (−1+i)²=−2i; em forma polar, módulo 2 e argumento 3π/2.
Confere os dois métodos.
Alinhamento curricular e fontes
- Números complexos — 12.º ano, página 14. Objetivo oficial parafraseado: Representar complexos em forma trigonométrica.. O exemplo, a sequência e os exercícios são editoriais. · Aprendizagens Essenciais · matematica-a · 12-ano