12.º anoPercurso edumaterial
O que vais aprender
- Operar com complexos na forma algébrica.
Compreender
Para obter denominador real, multiplica-se numerador e denominador pelo conjugado 1+i. O denominador é (1−i)(1+i)=1−i²=2. O numerador é (3+2i)(1+i)=3+5i+2i²=1+5i. O quociente é (1+5i)/2=0,5+2,5i. A multiplicação pelo conjugado não altera o valor da fração, pois corresponde a multiplicar por (1+i)/(1+i), igual a 1.
O módulo de a+bi é √(a²+b²), sempre não negativo. A conjugação troca o sinal da parte imaginária e o produto z·conj(z)=|z|². É preciso distinguir parte real e módulo: o resultado do quociente tem parte real 0,5, mas módulo √6,5. Verificar multiplicando o quociente por 1−i recupera 3+2i.
Exemplo resolvido
Calcula (2+i)/(1+i), com i²=−1, na forma a+bi.
- Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado 1−i, que é diferente de zero.
- O denominador torna-se (1+i)(1−i)=1−i²=2.
- No numerador, (2+i)(1−i)=2−2i+i−i²=3−i; dividimos as duas parcelas por 2.
(2+i)/(1+i)=3/2−i/2.
Atenção ao erro
O conjugado muda o sinal da parte real.
Verifica agora
Retoma o caso da explicação: Qual é o conjugado de 1−i?
Ver solução explicada
Resposta: 1+i.
Troca apenas o sinal imaginário.
Retoma o caso da explicação: Calcula o denominador racionalizado.
Ver solução explicada
Resposta: (1−i)(1+i)=2.
Usa i²=−1.
Retoma o caso da explicação: Qual é o quociente?
Ver solução explicada
Resposta: (3+2i)/(1−i)=0,5+2,5i.
Expande numerador e divide por 2.
Retoma o caso da explicação: Verifica o resultado.
Ver solução explicada
Resposta: (0,5+2,5i)(1−i)=3+2i.
Multiplica de volta pelo denominador.
Alinhamento curricular e fontes
- Números complexos — 12.º ano, página 13. Objetivo oficial parafraseado: Operar com complexos na forma algébrica.. O exemplo, a sequência e os exercícios são editoriais. · Aprendizagens Essenciais · matematica-a · 12-ano