12.º anoPercurso edumaterial
O que vais aprender
- Calcular e interpretar valor esperado de variável discreta.
Compreender
As probabilidades somam 1: 1/2+1/4+1/4=1. O valor esperado é E(X)=0×1/2+2×1/4+6×1/4=2 €. Trata-se de uma média ponderada numa repetição ideal de muitas experiências com o mesmo mecanismo. Num único sorteio só se recebem 0, 2 ou 6 euros; não existe prémio de 2 € garantido, mesmo que coincida com o valor esperado.
Se cada entrada custar 2,50 €, o ganho líquido esperado é 2−2,50=−0,50 € por entrada, sem considerar outros custos. Isso não permite prever o resultado de um participante. A interpretação depende das probabilidades anunciadas serem corretas e do sorteio ser realizado conforme as regras. A matemática pode avaliar o desenho, sem recomendar participação.
Exemplo resolvido
Num sorteio hipotético, os prémios possíveis são 0 € com probabilidade 1/2, 4 € com 1/4 e 8 € com 1/4. Qual é o valor esperado?
- Confirmamos que as probabilidades são não negativas e somam 1/2+1/4+1/4=1.
- Ponderamos cada valor pela sua probabilidade: 0×1/2+4×1/4+8×1/4=0+1+2.
- A soma é 3 €, mas um único sorteio só pode pagar 0, 4 ou 8 €; 3 € não é um prémio possível.
O valor esperado é 3 € por sorteio neste modelo, sem garantia de receber esse valor.
Atenção ao erro
O valor esperado é o montante recebido em todas as tentativas.
Verifica agora
As probabilidades formam uma distribuição?
Ver solução explicada
Resposta: Sim: 1/2+1/4+1/4=1 e todas são não negativas.
Verifica normalização.
Retoma o caso da explicação: Calcula E(X).
Ver solução explicada
Resposta: 0×1/2+2×1/4+6×1/4=2 €.
Pondera valores pelas probabilidades.
Retoma o caso da explicação: Ganho líquido esperado com custo 2,50 €?
Ver solução explicada
Resposta: 2−2,50=−0,50 €.
Subtrai custo certo da esperança.
Retoma o caso da explicação: O próximo sorteio dará 2 €?
Ver solução explicada
Resposta: Não necessariamente; pode dar 0, 2 ou 6 €.
Distingue esperança de previsão individual.
Alinhamento curricular e fontes
- Probabilidades — 12.º ano, página 21. Objetivo oficial parafraseado: Calcular e interpretar valor esperado de variável discreta.. O exemplo, a sequência e os exercícios são editoriais. · Aprendizagens Essenciais · matematica-a · 12-ano