Quantos triângulos cabem no polígono?

Compreender

A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°. Num quadrilátero convexo, uma diagonal divide o interior em dois triângulos, por isso a soma é 2×180°=360°. Num pentágono convexo, diagonais traçadas de um mesmo vértice formam três triângulos, logo a soma é 3×180°=540°. A divisão explica o número; não precisamos de medir cada ângulo com transferidor.

Para um polígono convexo de n lados, a mesma triangulação forma n−2 triângulos. Assim, a soma S=180°×(n−2). Num hexágono, n=6 e S=180°×4=720°. Esta é a soma dos seis ângulos, não a medida de cada um. Se o hexágono for regular, os seis ângulos são iguais e cada um mede 720°÷6=120°. Sem regularidade, não podemos dividir a soma e atribuir o quociente a todos.

A justificação depende de a triangulação cobrir o polígono sem espaços nem sobreposição. Num desenho convexo, o procedimento a partir de um vértice funciona de modo simples. Um ângulo exterior é outro objeto e a sua soma segue uma relação diferente; não trocamos as duas regras. Para conferir um cálculo, testamos n=3 e obtemos um triângulo e 180°, como esperado. Esta verificação ajuda a encontrar erros de contagem antes de usar a fórmula em figuras maiores.