8.º anoPercurso edumaterial
O que vais aprender
- Aplicar a relação a²+b²=c², identificar hipotenusa e rejeitar o uso sem ângulo reto.
Compreender
O Teorema de Pitágoras vale para triângulos retângulos, isto é, com um ângulo de 90 graus. Os lados que formam esse ângulo chamam-se catetos. O lado oposto, e mais comprido, é a hipotenusa. Se os catetos medem a e b e a hipotenusa mede c, então a² + b² = c². A igualdade relaciona áreas de quadrados construídos sobre os lados.
Para catetos de 3 cm e 4 cm, calculamos 3² + 4² = 9 + 16 = 25. Logo c² = 25 e, como uma medida de comprimento é positiva, c = 5 cm. Podemos verificar: o quadrado sobre a hipotenusa tem área 25 cm²; os outros dois juntos têm 9 + 16 = 25 cm². O resultado faz sentido porque 5 é maior que 3 e 4.
A relação não se aplica automaticamente a qualquer triângulo. Se não houver ângulo reto identificado, primeiro precisamos de justificar que o triângulo é retângulo ou usar outra estratégia. Também não se deve escolher como hipotenusa um dos lados pequenos. Num triângulo retângulo com hipotenusa 13 cm e cateto 5 cm, o outro cateto satisfaz b² = 13² − 5² = 144; portanto b = 12 cm.
Exemplo resolvido
Num segundo caso, diferente do triângulo ilustrado, uma rampa, o chão horizontal e uma parede vertical formam um triângulo retângulo com catetos de 5 m e 12 m. Qual é o comprimento da rampa?
- Identifico a rampa como hipotenusa, oposta ao ângulo reto entre chão e parede.
- Aplico o teorema: h²=5²+12²=25+144=169.
- Como um comprimento é positivo, h=√169=13 m; verifico 13²=169.
A rampa mede 13 m no modelo geométrico.
Atenção ao erro
Aplicar sem ângulo reto ou escolher o lado errado.
Verifica agora
Que lado é a hipotenusa num triângulo retângulo?
Ver solução explicada
Resposta: O lado oposto ao ângulo reto.
Identifica pela posição, não só pelo desenho.
Retoma o texto base da explicação: Catetos 3 cm e 4 cm: quanto mede a hipotenusa?
Ver solução explicada
Resposta: 5 cm.
Mostra 9+16=25 e raiz positiva.
Hipotenusa 13 cm e cateto 5 cm: outro cateto?
Ver solução explicada
Resposta: 12 cm, pois 169−25=144.
Subtrai quadrados corretamente.
Pode aplicar-se a²+b²=c² sem saber se existe ângulo reto?
Ver solução explicada
Resposta: Não; é preciso justificar a condição de triângulo retângulo.
Enuncia a hipótese do teorema.
Alinhamento curricular e fontes
- Geometria, Teorema de Pitágoras, página 34. Objetivo oficial parafraseado: Explicar, aplicar e compreender uma demonstração do Teorema de Pitágoras em triângulos retângulos.. O exemplo, a sequência e os exercícios são editoriais. · Aprendizagens Essenciais · matematica-pt · 8-ano