Poliedros, planificações e relação de Euler

Entenda a relação

Um poliedro fechado tem superfície formada por faces planas poligonais. Cada face é uma região, cada aresta é um segmento de encontro de duas faces e cada vértice é um ponto de encontro de arestas. Cilindros e cones circulares têm partes curvas; esferas também. Ter volume não é a característica que distingue poliedros desses outros sólidos.

Um prisma de base com n lados possui duas bases congruentes e n faces laterais: F=n+2, V=2n e A=3n. Uma pirâmide tem uma base, um ápice e n triângulos laterais: F=n+1, V=n+1 e A=2n. Essas contagens incluem partes escondidas numa vista; conte a estrutura inteira, e não só as linhas desenhadas.

A relação V−A+F=2 vale para os poliedros convexos considerados aqui. Ela permite recuperar uma contagem a partir das outras duas, mas uma tripla que satisfaz a igualdade não prova sozinha que existe o sólido descrito. Uma planificação representa as faces abertas no plano; quantidade e forma das faces são necessárias, e a disposição das peças também precisa permitir fechar sem sobreposição.