Agrupamentos: ordem e restrições

O que precisa ser preservado

Duas pessoas em cargos diferentes formam uma distribuição diferente quando trocam de cargo. Escolher coordenador e secretário dentre n pessoas distintas produz n(n−1) distribuições. Uma comissão de duas pessoas sem cargos não muda quando se escreve a dupla na ordem inversa; por isso cada dupla foi contada duas vezes no produto anterior e o total é n(n−1)/2.

Uma restrição precisa ser traduzida literalmente. Se uma pessoa é inelegível, ela sai do conjunto de escolhas. Se duas pessoas não podem servir juntas, ambas continuam elegíveis separadamente: retire apenas o agrupamento que reúne as duas. Para cargos distintos, essa dupla produz duas distribuições proibidas. Para comissão sem cargos, produz uma única comissão proibida.

A contagem por complemento calcula um universo simples e subtrai os casos proibidos sem duplicações. Antes de subtrair, verifique se as restrições se sobrepõem. Um diagrama de árvore com nomes fictícios pode conferir casos pequenos, mas não substitui a justificativa da regra geral. A decisão entre produto, divisão e subtração vem do significado dos cargos e das proibições, não de uma palavra isolada do enunciado.