PG: soma acumulada e orçamento finito

O que precisa ser preservado

Uma progressão geométrica tem razão constante entre termos consecutivos. Seu primeiro termo ocupa a posição um, enquanto uma função exponencial costuma registrar a quantidade inicial no instante zero. Essa diferença de índices importa: aₙ=a₁qⁿ⁻¹. A soma Sₙ reúne parcelas diferentes e não pode ser substituída pelo último termo. Para q≠1, Sₙ=a₁(qⁿ−1)/(q−1).

Quando a soma e a razão são conhecidas, recupere primeiro a₁. Só depois calcule um termo que não está na soma. Essa inversão pode ser conferida reconstruindo as parcelas. Se q=1, todos os termos são iguais e a soma é n·a₁; a fórmula com denominador q−1 não pode ser usada. Um orçamento finito também limita quais parcelas podem ser realizadas.

Um orçamento limita a soma das parcelas pagas, não apenas o valor da última. Para decidir quantas etapas cabem, compare a soma até uma posição e a soma que inclui a seguinte. Pode haver dinheiro suficiente para uma parcela isolada e insuficiente para todas as parcelas anteriores mais ela. A desigualdade usa o total acumulado e um domínio de posições inteiras. Essa interpretação aproxima a sequência de uma função exponencial discreta sem confundir termo, índice e soma.