3ª série · Ensino Médio diurno · Espírito SantoPercurso edumaterial
O que vais aprender
- Escolher razões e deslocamentos para reconstruir medidas.
- Relacionar período, amplitude e tempo em um modelo senoidal.
Antes de começar
- Operações com racionais, leitura de grandezas e equações elementares.
O que precisa ser preservado
Um ângulo de elevação medido desde um instrumento produz o desnível entre instrumento e ponto visado. Se o instrumento está acima do chão, esse deslocamento precisa ser somado para obter a altura total. Tangente relaciona cateto oposto e adjacente; seno relaciona oposto e hipotenusa. Uma distância horizontal e uma distância inclinada não podem ser trocadas sem alterar a razão.
Em um triângulo retângulo, os quadrados dos catetos somam o quadrado da hipotenusa. Se o problema fornece uma razão trigonométrica e um cateto, reconstruir outro comprimento pode exigir duas relações. Declare a referência de altura e preserve unidades antes de calcular. Uma aproximação trigonométrica fornecida pelo enunciado vale para aquele caso, não para qualquer ângulo.
No modelo h(t)=m+A·sen(ωt), a linha média é m e a amplitude é |A|. Máximo e mínimo diferem em 2|A|. O período positivo é 2π/|ω|, desde que ω≠0. Tempo, altura e distância percorrida são grandezas diferentes. Para ciclos completos em um intervalo, descarte o ciclo final incompleto; para uma altura em instante dado, substitua o tempo no argumento e depois aplique a translação vertical.
- Período
- Menor intervalo positivo de tempo após o qual um modelo periódico repete seus valores.
Organize e confira
- Defina a referência e os lados do triângulo.
- Reconstrua a grandeza intermediária antes da medida solicitada.
- No modelo periódico, separe tempo, amplitude e translação.
Um caso com dados próprios
Um instrumento a 1,5 m do chão observa uma torre a 20 m horizontalmente; tangente 0,75. Um movimento h(t)=10+2·sen(πt/6) ocorre por 30 horas: quantos ciclos completos?
- Desnível 0,75·20=15 m; altura total 16,5 m.
- Período 12 horas; 30/12=2,5, então dois ciclos completos.
Torre de 16,5 m e dois ciclos completos.
Analise o erro
A altura da torre é apenas o produto distância horizontal pela tangente.
Esse produto dá o desnível a partir do instrumento.
A origem da medição está 1,5 m acima do chão.
- Escolher razões e deslocamentos para reconstruir medidas.
- Relacionar período, amplitude e tempo em um modelo senoidal.
Verifica agora
Um instrumento está a 1,2 m do chão e a 16 m horizontalmente da base de uma torre. A tangente do ângulo de elevação é 0,75. Qual a altura total em metros? Informe somente o número solicitado.
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Resposta: 13,2
Desnível 16·0,75=12; altura 12+1,2=13,2 m.
Uma rampa tem hipotenusa 15 m e seno do ângulo com o chão igual a 0,6. Qual seu comprimento horizontal em metros? Informe somente o número solicitado.
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Resposta: 12
O desnível é nove; horizontal √(225−81)=12 m.
Um movimento h(t)=12+3·sen(πt/4) dura 22 horas desde t=0. Quantos ciclos completos realiza? Informe somente o número solicitado.
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Resposta: 2
Período oito horas; 22/8=2,75. Há dois ciclos completos.
Um movimento vertical senoidal varia de 5 a 13 m. Em um ciclo vai do mínimo ao máximo e volta, sem desvios. Quantos metros percorre? Informe somente o número solicitado.
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Resposta: 16
A distância entre extremos é oito; ida e volta somam dezesseis. A amplitude é quatro, outra grandeza.
Alinhamento curricular e fontes
- 3ª série ES diurno FGB 2026; PDF páginas 30–34; EF09MA25/ES, EM13MAT306. Sequência e combinação de objetivos editoriais. · Orientações Curriculares 2026 — Matemática — Ensino Médio Diurno — 3º trimestre
Continua por este corredor
Praticar isto: Medir alturas com desnível do instrumentoPraticar isto: Interpretar amplitude, linha média e períodoContagem e eventos com sobreposiçãoFrequências, centro e dispersão