Números racionales: fracciones, decimales y aproximación
3.º de ESORuta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Relacionar una misma cantidad racional con fracciones y expresiones decimales equivalentes.
- Operar, ordenar y simplificar racionales sin redondear antes de tiempo.
- Obtener y comprobar la fracción generatriz de decimales exactos y periódicos sencillos.
Antes de empezar
- Simplificar fracciones.
- Operar con signos y denominadores.
- Distinguir decimal exacto y periódico.
El valor no depende de cómo se escribe
Un número racional puede escribirse como a/b, con a y b enteros y b distinto de cero. Las formas 3/8, 6/16 y 0,375 representan la misma cantidad aunque tengan aspectos distintos.
Simplificar una fracción no cambia su valor: produce una representación irreducible que facilita comparar, operar y estudiar su decimal. Un decimal racional es exacto o periódico; nunca infinito sin patrón.
- Fracción generatriz
- Es una fracción que representa exactamente un decimal. Para un exacto se elimina la coma y se divide por una potencia de diez; para un periódico se resta una copia desplazada de la igualdad para cancelar el bloque que se repite.
Decidir, convertir y comprobar
- Reduce la fracción a términos irreducibles.
- Si el denominador solo contiene factores 2 y 5, el decimal es exacto; si conserva otro primo, es periódico.
- En una fracción generatriz, despeja la variable y simplifica.
- Comprueba convirtiendo de nuevo la fracción a decimal y conserva el valor exacto durante las operaciones.
Generatriz de 0,272727…
El periodo es 27 y ocupa dos cifras.
- Sea x = 0,272727…
- Multiplica por 100: 100x = 27,272727…
- Resta: 100x − x = 27, de modo que 99x = 27.
- Divide y simplifica: x = 27/99 = 3/11.
0,272727… = 3/11 exactamente.
Exacto frente a aproximado
- 2/3
Es el valor exacto; su decimal 0,666… conserva el periodo completo.
- 0,67
Es una aproximación a centésimas. Sirve si la precisión lo permite, pero no es igual a 2/3.
Redondear en un paso intermedio
Sustituir 2/3 por 0,67 y seguir operando como si fueran iguales.
Conservar 2/3 durante el cálculo y redondear solo el resultado final con la precisión pedida.
Cada redondeo introduce un error. Acumular aproximaciones puede cambiar el orden o la respuesta final.
- Fracciones equivalentes representan la misma cantidad.
- Todo racional tiene decimal exacto o periódico.
- La fracción generatriz recupera el valor exacto de un decimal racional.
- Se compara con denominador común, decimal exacto o recta, según el problema.
Compruébalo ahora
Ordena de menor a mayor los valores A, B y C del visual.
Ver solución explicada
Respuesta: A < B < C
0,375 < 0,666… < 1,166…; también se obtiene comparando 3/8, 2/3 y 7/6.
Calcula exactamente C − B usando las fracciones del visual.
Ver solución explicada
Respuesta: 1/2
7/6 − 2/3 = 7/6 − 4/6 = 3/6 = 1/2. No hace falta redondear los periódicos.
Siguiendo la clasificación del visual, ¿5/12 produce un decimal exacto o periódico?
Ver solución explicada
Respuesta: Periódico
5/12 es irreducible y 12 = 2² · 3 conserva el factor 3; por tanto, su decimal es periódico.
Alineación curricular y fuentes
- Matemáticas · cursos de primero a tercero de ESO · sentido numérico: representaciones, operaciones, orden y precisión; secuenciación editorial de 3.º · Real Decreto 217/2022, currículo básico de ESO
Cuando lo tengas claro
Potencias y notación científica: escala y precisiónPolinomios: operar, desarrollar y factorizarEstadística y probabilidad: comparar, experimentar e inferir