Usar factores para repartir y sincronizar

Un primo tiene exactamente dos divisores positivos distintos: uno y él mismo. Uno no cumple esa definición. Un compuesto puede desarmarse en factores menores hasta llegar a primos. En 150 = 2 × 3 × 5² hay tres primos distintos y cuatro apariciones de factores. No son el mismo conteo.

El teorema fundamental de la aritmética garantiza que para un natural mayor que uno se obtiene la misma colección de primos con las mismas repeticiones, salvo el orden. Escribir 2 × 3 × 5 × 5 o 5² × 3 × 2 no crea dos descomposiciones esencialmente distintas. Entregar 150 como resultado de un producto no demuestra que se haya factorizado: lo que interesa es su estructura.

Para repartir dos inventarios en el máximo número de paquetes idénticos sin sobrantes usamos el MCD. El número de paquetes debe dividir cada inventario. Para hallar la primera coincidencia de dos ciclos usamos el MCM: el tiempo transcurrido debe ser múltiplo de ambos intervalos. En factores primos, el divisor común toma bases compartidas y exponentes menores; el múltiplo común reúne todas las bases necesarias con exponentes mayores. Multiplicar las cantidades funciona como MCM solo cuando no comparten factores primos.

Factorización prima: Un producto que expresa un natural mayor que uno utilizando únicamente factores primos. Los exponentes abrevian cuántas veces aparece cada factor.

Un método que se puede comprobar

Descompón cada cantidad hasta que todos los factores sean primos.
Decide si la incógnita divide cantidades o debe ser múltiplo de ellas.
Toma exponentes menores compartidos para MCD o mayores necesarios para MCM.
Comprueba que el resultado cumple la situación, y conserva su unidad.

Distingue antes de calcular

Reparto
Con 30 y 42 piezas, el máximo número de lotes iguales es seis: ambos inventarios se dividen entre seis.
Ciclos
Con intervalos de 10 y 14 minutos, la primera coincidencia posterior llega a los setenta minutos.

Repara el razonamiento

MCM(15, 20) = 300

MCM(15, 20) = 60

El producto repite el factor cinco compartido. Basta reunir 2² × 3 × 5.

Relaciona significados

Factoriza antes de contar; evaluar productos no sustituye esta tarea.

Solución accesible sin interacción

Respuesta: Factoriza 54 y cuenta distintos y apariciones. → 2 distintos; 4 apariciones.; Factoriza 140 y cuenta distintos y apariciones. → 3 distintos; 4 apariciones.; Factoriza 99 y cuenta distintos y apariciones. → 2 distintos; 3 apariciones.

54=2×3³; 140=2²×5×7; 99=3²×11.

Elige y justifica

Dos inventarios deben repartirse en el máximo número de bolsas iguales. ¿Qué se busca?

Solución accesible sin interacción

Respuesta: MCD de los inventarios. — El número máximo de bolsas debe dividir ambos inventarios.

La cantidad de bolsas debe dividir a ambos.

Localiza el paso incorrecto

Localiza la descomposición incompleta. Identifica el primer paso incorrecto y su corrección.

Solución accesible sin interacción

Respuesta: Se escribe 6 × 11 y se termina. → Debe descomponerse seis: 2 × 3 × 11.

Debe descomponerse seis: 2 × 3 × 11.

Construir una factorización prima completa.
Distinguir factores distintos de apariciones repetidas.
Elegir y justificar MCD o MCM en un problema.

Integra y comprueba

Dos rutas salen cada 12 y 20 minutos y coinciden ahora. Halla la siguiente coincidencia y justifica por factores por qué 240 no es el mínimo.

Solución accesible sin interacción

Conservar datos y dominio.
Justificar la operación o relación elegida.
Comprobar el resultado con la condición de partida.

Respuesta: 12 = 2² × 3 y 20 = 2² × 5; el MCM es 60 minutos. El producto 240 repite factores dos que ya comparten, por lo que es un múltiplo común mayor, no el mínimo.

12 = 2² × 3 y 20 = 2² × 5; el MCM es 60 minutos. El producto 240 repite factores dos que ya comparten, por lo que es un múltiplo común mayor, no el mínimo.

Usar factores para repartir y sincronizar

Qué vas a aprender

Antes de empezar