¿Qué conserva un modelo inverso?

2.º de secundariaRuta de edumaterial

Qué vas a aprender

Comparar dos modelos decrecientes mediante sus constantes y las condiciones que conservan.
Construir un contraejemplo o una decisión que distinga observación y supuesto.

Antes de empezar

Operar con fracciones y decimales.
Interpretar xy = k y las unidades de un producto.

Qué necesitamos entender

Un modelo inverso relaciona dos magnitudes positivas mediante xy = k. La constante tiene unidades: si n es la cantidad de recipientes y v su contenido en litros, nv es el volumen total. Si ese total cambia, también cambia k; no es legítimo conservarla por costumbre. En cantidades de recipientes solo se admiten enteros positivos, aunque la expresión admita otros valores numéricos.

Una tabla decreciente puede corresponder a muchos modelos. Comprobar productos iguales en las filas acredita compatibilidad de esas filas con una constante. No demuestra que cualquier fila futura la conserve. Para extender la relación hace falta una condición del caso, como repartir la misma cantidad sin pérdidas, o una regla expresamente adoptada.

Dos reglas pueden acertar el mismo dato. En ese punto no se pueden distinguir. Calcula un segundo caso en el que difieran y busca qué observación o condición excluye una. Tampoco un dato incompatible prueba cuál fue la causa del cambio: puede haberse modificado el total o haberse anotado mal una fila.

La representación depende de la pregunta. La tabla ayuda a comparar casos concretos y restricciones de enteros; la expresión permite recuperar un valor desconocido o calcular un umbral. Conserva ambas unidades y comprueba el total antes de decidir. Decir que una cantidad baja cuando la otra sube no sustituye esa comprobación.

Constante del modelo: Producto que permanece igual cuando se conservan las condiciones indicadas; su valor y sus unidades pertenecen al caso.

Cómo elegir la representación y comprobar

Nombra las magnitudes, las unidades y los valores admitidos.
Identifica qué cantidad se conserva por las condiciones, y qué parte solo se observó.
Obtén las predicciones de cada modelo para el mismo caso; elige un caso discriminante si coinciden.
Comprueba el producto y la condición material antes de extender la conclusión.

Un caso resuelto

Para repartir exactamente 72 litros sin pérdidas se comparan n recipientes de igual contenido. Una regla propone v = 72/n; otra propone v = 18 − n. Con seis recipientes ambas predicen 12 litros por recipiente. ¿Ese dato decide entre las reglas? Usa ocho recipientes y comprueba la cantidad total.

Con n = 6, 72/6 = 12 y 18 − 6 = 12. La coincidencia no distingue las reglas.
Con n = 8, el modelo del producto da 9 litros y la otra regla da 10 litros por recipiente.
Ocho recipientes de 9 litros suman 72 litros; ocho de 10 suman 80. La condición de repartir los mismos 72 excluye la segunda regla para ese caso.
La expresión se usa solo con n entero positivo; una tabla permite registrar los dos ensayos.

El dato de seis recipientes no decide. El caso de ocho distingue las reglas y conserva 72 litros solo con v = 72/n.

Registro del ejemplo

Recipientes	Regla 72/n: litros por recipiente	Regla 18 − n: litros por recipiente
6	12	12
8	9	10

Un error que podemos explicar

Aceptar una relación inversa porque ambas cantidades cambian en sentido contrario.

Comprobar el producto y la cantidad conservada en el contexto.

Disminuir es compatible con reglas que no conservan el mismo producto.

La constante conserva una cantidad y unas condiciones, además de un número.
Un dato compartido no distingue dos modelos; busca un caso donde difieran.

Comprueba con otro caso

Dos propuestas para el contenido v, en litros, de n recipientes son v = 60/n y v = 14 − n. Un registro usa cuatro recipientes de 10 litros cada uno y otro usa seis recipientes de 10 litros cada uno. Evalúa ambas propuestas en los dos registros y determina cuáles permiten distinguirlas. Indica qué propuesta concuerda con cada observación y decide si una misma regla puede describir los dos registros. No cambies las reglas ni los datos. Escribe volúmenes exactos en litros y cantidades enteras sin decimales.

Resultados y razonamiento del caso

Solución accesible sin interacción

Respuesta: Resultados y razonamiento del caso: Con n = 4, v = 60/n da 15 litros y v = 14 − n da 10 litros: el registro concuerda con la segunda. Con n = 6 dan 10 y 8 litros, respectivamente: el registro concuerda con la primera. Ambos registros distinguen las propuestas. Ninguna de las dos reglas concuerda con las dos observaciones a la vez; no se puede elegir una misma regla para ambos registros sin revisar los datos o el modelo.

Modelo de respuesta: Con n = 4, v = 60/n da 15 litros y v = 14 − n da 10 litros: el registro concuerda con la segunda. Con n = 6 dan 10 y 8 litros, respectivamente: el registro concuerda con la primera. Ambos registros distinguen las propuestas. Ninguna de las dos reglas concuerda con las dos observaciones a la vez; no se puede elegir una misma regla para ambos registros sin revisar los datos o el modelo.

Criterios para revisar tu respuesta:

Calcular las predicciones de ambas reglas para cada cantidad de recipientes, conservando las unidades.
Contrastar cada predicción con el contenido observado y justificar cuáles registros distinguen las reglas.
Decidir si existe una misma regla compatible con las dos observaciones, apoyándose en los cálculos.

Con n = 4, v = 60/n da 15 litros y v = 14 − n da 10 litros: el registro concuerda con la segunda. Con n = 6 dan 10 y 8 litros, respectivamente: el registro concuerda con la primera. Ambos registros distinguen las propuestas. Ninguna de las dos reglas concuerda con las dos observaciones a la vez; no se puede elegir una misma regla para ambos registros sin revisar los datos o el modelo.

El reto final es la práctica 4 de «Compruébalo ahora». Resuélvela con sus datos y condiciones, y consulta su solución después de completar tu razonamiento.

Solución accesible sin interacción

Conservar la pareja inicial y añadir dos contenidos positivos menores que 18.
Mantener 36 litros en A y obtener otro producto en B.
Relacionar el contraejemplo con la generalización examinada.

Respuesta: A puede añadir (4; 9), que mantiene 36 litros. B puede añadir (4; 8), cuyo total es 32 litros. Ambos contenidos bajan desde 18, pero solo A conserva 36. Por tanto, ser decreciente no basta para asegurar proporcionalidad inversa.

A puede añadir (4; 9), que mantiene 36 litros. B puede añadir (4; 8), cuyo total es 32 litros. Ambos contenidos bajan desde 18, pero solo A conserva 36. Por tanto, ser decreciente no basta para asegurar proporcionalidad inversa.

Compruébalo ahora

Una tabla de reparto informa n = 3 con v = 24 litros y n = 6 con v = 12 litros. No indica cuánto líquido se preparará en la siguiente tanda. Una compañera anuncia que con nueve recipientes habrá 8 litros en cada uno. Decide qué parte de su anuncio se puede comprobar y qué condición falta para usarlo como predicción. Propón otra cantidad posible para el nuevo contenido si cambia el total, sin contradecir las filas observadas. Da volúmenes enteros en litros.
Ver solución explicada
- Calcular los productos de las filas y la predicción condicional.
- Identificar la conservación del total como dato faltante.
- Dar una alternativa coherente para una tanda nueva.
Respuesta: Las filas observadas conservan 72 litros: 3 × 24 = 6 × 12 = 72. Si la tanda siguiente conserva 72 sin pérdidas, nueve recipientes contienen 8 litros. Sin ese supuesto podría prepararse, por ejemplo, 90 litros y corresponder 10 litros por recipiente; las filas anteriores seguirían siendo ciertas.
Las filas observadas conservan 72 litros: 3 × 24 = 6 × 12 = 72. Si la tanda siguiente conserva 72 sin pérdidas, nueve recipientes contienen 8 litros. Sin ese supuesto podría prepararse, por ejemplo, 90 litros y corresponder 10 litros por recipiente; las filas anteriores seguirían siendo ciertas.
Una cooperativa dispone de 84 litros para n envases iguales. Antes del reparto se apartan 12 litros para otra actividad; los envases reciben todo lo restante sin pérdidas. Cada envase puede contener como máximo 8 litros. Construye una expresión para los litros por envase y determina el menor número entero de envases que permite el reparto. Comprueba por separado ese número y el entero anterior. Da la cantidad sin decimales y los contenidos exactos en litros.
Ver solución explicada
- Restar la reserva antes de fijar la constante.
- Obtener nueve como mínimo entero y comprobar ocho y nueve.
Respuesta: Quedan 72 litros y v = 72/n. Con nueve envases corresponden 8 litros por envase y se cumple la capacidad. Con ocho corresponderían 9 litros, que exceden 8; el mínimo es nueve envases.
Quedan 72 litros y v = 72/n. Con nueve envases corresponden 8 litros por envase y se cumple la capacidad. Con ocho corresponderían 9 litros, que exceden 8; el mínimo es nueve envases.
Para un lote fijo de 48 litros se anota una pareja: 6 envases y 8 litros por envase. El siguiente registro dice 12 envases y 4 000 mililitros por envase. Una alumna calcula productos 48 y 48 000 y concluye que el modelo inverso falló. Repara su comprobación manteniendo ambos registros y decide si son compatibles con el mismo lote. Indica la unidad de cada producto y el volumen en litros, sin decimales.
Ver solución explicada
- Conservar los registros y convertir el segundo producto a litros.
- Distinguir el valor numérico de la magnitud y concluir compatibilidad, sin afirmar prueba universal.
Respuesta: El primer producto es 48 litros. El segundo es 48 000 mililitros, equivalentes a 48 litros porque 1 litro = 1 000 mililitros. Los dos registros son compatibles; se compararon números expresados en unidades distintas.
El primer producto es 48 litros. El segundo es 48 000 mililitros, equivalentes a 48 litros porque 1 litro = 1 000 mililitros. Los dos registros son compatibles; se compararon números expresados en unidades distintas.
Dos tablas, A y B, empiezan con la pareja n = 2 y v = 18 litros por envase. En A el total permanece fijo; en B se permite cambiar el total entre tandas. Añade a cada tabla una fila con n = 4. Haz que ambas tablas sean decrecientes en v, pero solo A conserve el producto. Calcula los dos totales y explica qué muestra tu construcción acerca de usar la palabra decreciente como prueba de proporcionalidad inversa. Da cantidades enteras y litros sin decimales.
Ver solución explicada
- Conservar la pareja inicial y añadir dos contenidos positivos menores que 18.
- Mantener 36 litros en A y obtener otro producto en B.
- Relacionar el contraejemplo con la generalización examinada.
Respuesta: A puede añadir (4; 9), que mantiene 36 litros. B puede añadir (4; 8), cuyo total es 32 litros. Ambos contenidos bajan desde 18, pero solo A conserva 36. Por tanto, ser decreciente no basta para asegurar proporcionalidad inversa.
A puede añadir (4; 9), que mantiene 36 litros. B puede añadir (4; 8), cuyo total es 32 litros. Ambos contenidos bajan desde 18, pero solo A conserva 36. Por tanto, ser decreciente no basta para asegurar proporcionalidad inversa.

Alineación curricular y fuentes

Programa de Estudio para la Educación Secundaria: Programa Sintético de la Fase 6, versión alojada por SEP en 2025. Funciones, segundo grado, p. 59 impresa (PDF 61): proporcionalidad inversa y representaciones tabular y algebraica. Selección y desarrollo editorial parcial; no programación anual ni cobertura completa. · Programa de Estudio para la Educación Secundaria: Programa Sintético de la Fase 6

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Practicar esto: Producto constante y proporcionalidad inversa