Una tabla no siempre aporta dos condiciones

2.º de secundariaRuta de edumaterial

Qué vas a aprender

Seleccionar registros que determinen dos incógnitas y distinguir totales repetidos de datos independientes.
Validar un sistema contra su interpretación, incluidos enteros y unidades.

Antes de empezar

Resolver sistemas lineales por sustitución o eliminación.
Interpretar el precio unitario y el costo de varias unidades.

Qué necesitamos entender

Representar un registro significa conservar qué cuenta cada columna. Si c es el precio de un cuaderno y l el de un lápiz, comprar dos cuadernos y tres lápices cuesta 2c + 3l. El total de piezas es otro dato: cinco piezas no son cinco pesos. Una tabla con cantidades y costo permite recuperar los coeficientes sin mezclar sus unidades.

Dos filas distintas pueden transmitir la misma condición. Cuando una compra duplica exactamente todas las cantidades de otra, su costo debe duplicarse si no hay descuentos ni cargos adicionales. El segundo total sirve para revisar el registro, pero no añade información sobre cada precio. Si no se duplica el costo, los dos registros son incompatibles con esos supuestos.

Para separar precios, conviene comparar una compra con otra que tenga una proporción diferente de productos. Si una cantidad permanece fija, restar los totales elimina su costo y aísla el otro precio. Es una elección de representación que permite explicar por qué el método funciona, no una orden de despejar siempre la misma letra.

Las incógnitas también pueden representar cantidades de objetos. Un sistema con precios conocidos y total de artículos admite cuentas algebraicas, pero el inventario exige enteros no negativos. Estar entre el ingreso mínimo y máximo es necesario; no basta, porque cambiar un artículo por otro produce saltos de ingreso. Comprueba la integridad y ambas condiciones sin redondear las cantidades.

Dato independiente: Condición que añade una restricción distinta y puede separar valores que el primer registro todavía deja posibles.

Cómo elegir la representación y comprobar

Define qué representan las incógnitas y cuáles son sus unidades.
Traduce las filas a ecuaciones y compara las proporciones entre sus cantidades.
Elige una representación que conserve o elimine una incógnita sin perder la otra condición.
Comprueba los valores en todas las filas originales y en el dominio material.

Un caso resuelto

Sin descuentos, dos cuadernos y un lápiz cuestan $54 MXN. Otra compra de cuatro cuadernos y dos lápices cuesta $108 MXN. Se necesita conocer cada precio. ¿Sirve añadir una compra de un cuaderno y un lápiz que cuesta $31 MXN?

Las dos primeras compras dan 2c + l = 54 y 4c + 2l = 108. La segunda duplica la primera y no separa los precios.
La compra añadida da c + l = 31, con una proporción diferente. Restar esta condición a la primera deja c = 23 pesos.
Entonces l = 8 pesos. Compruebo 2 × 23 + 8 = 54 y 4 × 23 + 2 × 8 = 108.
La nueva compra también se verifica: 23 + 8 = 31. Los precios cumplen los tres registros.

La tercera compra permite determinar cuaderno $23 y lápiz $8 MXN. El total duplicado sirve de control, no de segunda condición independiente.

Registro del ejemplo

Registro	Cuadernos	Lápices	Costo (MXN)
Una compra	2	1	54
Compra duplicada	4	2	108
Nueva proporción	1	1	31

Un error que podemos explicar

Redondear cantidades fraccionarias de objetos hasta obtener un inventario.

Volver a comprobar cantidades enteras y cada total antes de aceptar un par.

El redondeo puede conservar el número de objetos y cambiar el ingreso.

Una fila duplicada verifica un total, pero no separa precios.
Los valores deben cumplir el sistema y el significado de las incógnitas.

Comprueba con otro caso

Se usan los mismos precios sin descuentos ni cargos. Una compra contiene tres libretas y dos plumas por $87 MXN; otra contiene seis libretas y cuatro plumas por $175 MXN. Examina el registro antes de resolver precios. Decide si alguna pareja de precios puede cumplir ambos totales y propón corregir un solo total manteniendo las cantidades y el total de la primera compra. Después de corregir ese total, explica si los dos registros bastan para identificar el precio de cada producto. Da los costos en pesos enteros.

Resultados y razonamiento del caso

Solución accesible sin interacción

Respuesta: Resultados y razonamiento del caso: La segunda compra duplica las cantidades y debería costar 174 pesos. No existe una pareja que cumpla 87 y 175 con los supuestos indicados. Corregir el segundo total a $174 elimina la contradicción, pero siguen faltando datos independientes para conocer ambos precios.

Modelo de respuesta: La segunda compra duplica las cantidades y debería costar 174 pesos. No existe una pareja que cumpla 87 y 175 con los supuestos indicados. Corregir el segundo total a $174 elimina la contradicción, pero siguen faltando datos independientes para conocer ambos precios.

Criterios para revisar tu respuesta:

Comparar las cantidades por el mismo factor y obtener el total compatible.
Distinguir quitar la contradicción de determinar los precios.

La segunda compra duplica las cantidades y debería costar 174 pesos. No existe una pareja que cumpla 87 y 175 con los supuestos indicados. Corregir el segundo total a $174 elimina la contradicción, pero siguen faltando datos independientes para conocer ambos precios.

El reto final es la práctica 4 de «Compruébalo ahora». Resuélvela con sus datos y condiciones, y consulta su solución después de completar tu razonamiento.

Solución accesible sin interacción

Producir dos parejas positivas, enteras y distintas con c > l.
Verificar las dos igualdades y conservar la indeterminación.
Proponer una observación que dé predicciones diferentes para esas parejas.

Respuesta: Por ejemplo (c; l) = (20; 10) y (18; 12): ambas suman 30, duplicadas suman 60 y cumplen c > l. La desigualdad no fija los precios. Observar el costo de dos cuadernos y un lápiz las distinguiría: predecirían 50 y 48 pesos, respectivamente.

Por ejemplo (c; l) = (20; 10) y (18; 12): ambas suman 30, duplicadas suman 60 y cumplen c > l. La desigualdad no fija los precios. Observar el costo de dos cuadernos y un lápiz las distinguiría: predecirían 50 y 48 pesos, respectivamente.

Compruébalo ahora

Sin descuentos ni cargos, una compra de dos cuadernos y tres lápices cuesta $74 MXN. Solo se permite obtener una factura adicional. Propón las cantidades de ambos productos en esa nueva factura, sin asignarle un costo inventado, de modo que al conocer su total se puedan separar los precios. Explica cómo usarías las dos facturas y da un ejemplo de factura que no aportaría información nueva. Usa cantidades enteras positivas, sin decimales.
Ver solución explicada
- Diseñar una compra con cantidades positivas y proporción distinta de 2 a 3.
- Indicar cómo se usaría el nuevo costo, sin inventar su valor.
- Dar un ejemplo de compra proporcional que no separaría los precios.
Respuesta: Puede comprarse un cuaderno y tres lápices: al restar su costo del de la primera factura se obtiene el precio del cuaderno y luego el del lápiz. Una compra de cuatro cuadernos y seis lápices no agrega información, pues es el doble exacto. Se aceptan otras proporciones diferentes que permitan resolver el sistema cuando se conozca el total.
Puede comprarse un cuaderno y tres lápices: al restar su costo del de la primera factura se obtiene el precio del cuaderno y luego el del lápiz. Una compra de cuatro cuadernos y seis lápices no agrega información, pues es el doble exacto. Se aceptan otras proporciones diferentes que permitan resolver el sistema cuando se conozca el total.
Un puesto vendió 11 productos completos: tortas a $24 MXN y aguas a $16 MXN. No hubo descuentos; cada producto se cobró a uno de esos dos precios. El registro dice $202 MXN de ingreso. Comprueba si el registro es posible, aunque quede entre el ingreso mínimo y el máximo. Encuentra los ingresos posibles inmediatamente inferior y superior a $202 para esos once productos y verifica las cantidades de cada uno. Da cantidades e ingresos enteros, sin decimales.
Ver solución explicada
- Construir la condición de ingreso con once productos.
- Mostrar la cantidad fraccionaria incompatible sin redondearla.
- Comprobar los dos ingresos vecinos con cantidades completas.
Respuesta: El mínimo es 176 y el máximo 264. Si x son tortas, el ingreso es 24x + 16(11 − x) = 176 + 8x. Para 202 sale x = 26/8 = 3.25, que no es una cantidad de productos completos. Los ingresos vecinos son $200 con tres tortas y ocho aguas, y $208 con cuatro tortas y siete aguas.
El mínimo es 176 y el máximo 264. Si x son tortas, el ingreso es 24x + 16(11 − x) = 176 + 8x. Para 202 sale x = 26/8 = 3.25, que no es una cantidad de productos completos. Los ingresos vecinos son $200 con tres tortas y ocho aguas, y $208 con cuatro tortas y siete aguas.
Una factura A dice dos libretas, tres plumas y costo $69 MXN. La factura B dice una libreta, tres plumas y costo $45 MXN. No hay descuentos ni cargos adicionales. Un alumno escribe 2l + 3p = 5 y l + 3p = 4 porque sumó los objetos de cada factura. Conserva sus incógnitas como precios unitarios, repara las ecuaciones y calcula qué diferencia entre los costos permite determinar l. Resuelve ambos precios y verifica B. Da precios enteros en pesos.
Ver solución explicada
- Mantener las incógnitas como precios y usar los costos en los términos independientes.
- Explicar la eliminación mediante la cantidad igual de plumas.
- Resolver l y p y comprobar el segundo registro.
Respuesta: Los totales monetarios correctos son 2l + 3p = 69 y l + 3p = 45. La diferencia elimina las tres plumas: l = 24 pesos. Entonces 3p = 21 y p = 7 pesos. B se verifica con 24 + 3 × 7 = 45. Cinco y cuatro cuentan objetos, no su costo.
Los totales monetarios correctos son 2l + 3p = 69 y l + 3p = 45. La diferencia elimina las tres plumas: l = 24 pesos. Entonces 3p = 21 y p = 7 pesos. B se verifica con 24 + 3 × 7 = 45. Cinco y cuatro cuentan objetos, no su costo.
Un presupuesto indica c + l = 30 pesos MXN y otra línea informa 2c + 2l = 60. Los dos precios son enteros positivos y c es mayor que l. Construye dos parejas distintas que cumplan todas las condiciones y decide si la desigualdad permite fijar los precios. Propón una observación adicional concreta que podría distinguir tus parejas, sin inventar su resultado. Da precios enteros en pesos.
Ver solución explicada
- Producir dos parejas positivas, enteras y distintas con c > l.
- Verificar las dos igualdades y conservar la indeterminación.
- Proponer una observación que dé predicciones diferentes para esas parejas.
Respuesta: Por ejemplo (c; l) = (20; 10) y (18; 12): ambas suman 30, duplicadas suman 60 y cumplen c > l. La desigualdad no fija los precios. Observar el costo de dos cuadernos y un lápiz las distinguiría: predecirían 50 y 48 pesos, respectivamente.
Por ejemplo (c; l) = (20; 10) y (18; 12): ambas suman 30, duplicadas suman 60 y cumplen c > l. La desigualdad no fija los precios. Observar el costo de dos cuadernos y un lápiz las distinguiría: predecirían 50 y 48 pesos, respectivamente.

Alineación curricular y fuentes

Programa de Estudio para la Educación Secundaria: Programa Sintético de la Fase 6, versión alojada por SEP en 2025. Ecuaciones lineales y cuadráticas, segundo grado, p. 59 impresa (PDF 61): modelar y resolver sistemas de dos ecuaciones lineales. Selección y desarrollo editorial parcial; no programación anual ni cobertura completa. · Programa de Estudio para la Educación Secundaria: Programa Sintético de la Fase 6

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