2.º semestre · Pensamiento Matemático II · MCCEMS 2025Ruta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Componentes y clases de expresiones: interpretar cantidades y condiciones.
- Componentes y clases de expresiones: transformar expresiones conservando operaciones.
- Componentes y clases de expresiones: detectar un error y justificar una reparación.
Antes de empezar
- Operaciones con números reales, signos, fracciones y potencias del primer semestre.
Comprender antes de operar
Los términos se separan por suma o resta fuera de una agrupación. En 5*x^2-3*x+7 aparecen tres, con coeficientes cinco, menos tres y siete. La letra y su exponente forman la parte literal. El grado de un monomio en una variable es su exponente; el de un polinomio no nulo es el máximo grado de los términos que realmente permanecen.
La escritura inicial puede ocultar cancelaciones. En 4*x^3-4*x^3+2*x+9 desaparecen los términos cúbicos y queda un binomio de grado uno. Se cuentan los términos y el grado después de reducir. Una constante distinta de cero tiene grado cero; no se asigna aquí un grado al polinomio nulo. Tampoco se identifica el grado con el valor obtenido al sustituir x.
La clasificación exige comprobar la forma. Las potencias de la variable deben tener exponentes enteros no negativos para un polinomio. Una expresión con x en el denominador puede estar definida para muchos datos y aun así no ser un polinomio. Analizar su dominio y su forma responde a preguntas distintas.
- Término semejante
- Término semejante: término con las mismas variables elevadas a los mismos exponentes.
Un procedimiento comprobable
- Retira agrupaciones mediante operaciones válidas.
- Reúne las partes literales iguales.
- Elimina los coeficientes cero.
- Cuenta términos no nulos y determina el exponente máximo.
Distingue dos casos
- Antes de reducir
x^3-x^3+6*x+1 muestra cuatro sumandos.
- Después de reducir
6*x+1 es binomio de grado uno.
Reparar sin perder datos
El grado de 7*x^4-7*x^4+2*x^2 es cuatro.
Su grado es dos.
El término de grado cuatro se cancela.
Elige y justificaElige y justifica
Al reducir 6*x^4-2*x^2-(6*x^4+3*x)+7, ¿qué justifica su grado?
Reduce cada propuesta y elige cuál queda formada por un solo término no nulo.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Grado 2: se cancelan los términos de grado 4. — Al distribuir la resta, los términos de grado cuatro se cancelan: queda -2*x^2-3*x+7.
Queda -2*x^2-3*x+7; el coeficiente de x^4 es cero y el mayor exponente restante es dos.
Respuesta: 3*x+5-3*x+2 — Los términos lineales opuestos se cancelan y las constantes se reúnen.
3*x+5-3*x+2 se reduce a 7, un término constante. 3*x+5-2*x+2 se reduce a x+7, dos términos. 3*x+5-3*x^2 tiene tres términos de distinta parte literal. Se cuentan términos después de reducir; no se presupone que todas las propuestas sean binomios.
Transforma y asociaTransforma y asocia
En cada expresión reemplaza x por y-2 con paréntesis, desarrolla y reduce; asocia la forma final. Si el denominador contiene x, excluye los valores que lo anulen y traslada esa condición a y.
Reduce primero los términos añadidos y luego la expresión completa; cada destino tiene una sola pareja.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: (x^3+2*x^2)-(x^3-3*x+1) → 2*y^2 - 5*y + 1; (4*x^4-x^2)-(4*x^4+2*x)+6 → -y^2 + 2*y + 6; 2*x*(x+3)-2*x^2+5 → 6*y - 7
Al sustituir x por y - 2 en (x^3+2*x^2)-(x^3-3*x+1), se obtiene 2*y^2 - 5*y + 1. Al sustituir x por y - 2 en (4*x^4-x^2)-(4*x^4+2*x)+6, se obtiene -y^2 + 2*y + 6. Al sustituir x por y - 2 en 2*x*(x+3)-2*x^2+5, se obtiene 6*y - 7.
Respuesta: 2*x*(x+3)-2*x^2 + (2*x) - (1*x) → 7*x; (3*x^2+5*x)-(x^2-2*x)+1 + (4*x) - (3*x) → 2*x^2 + 8*x + 1; x*(x+1)+x^2-3*x+5 + (6*x) - (5*x) → 2*x^2 - x + 5
Al desarrollar y reducir 2*x*(x+3)-2*x^2 + (2*x) - (1*x), se obtiene 7*x. Al desarrollar y reducir (3*x^2+5*x)-(x^2-2*x)+1 + (4*x) - (3*x), se obtiene 2*x^2 + 8*x + 1. Al desarrollar y reducir x*(x+1)+x^2-3*x+5 + (6*x) - (5*x), se obtiene 2*x^2 - x + 5.
Repara el paso incorrectoRepara el paso incorrecto
Analiza P(x)=(3*(5*x+3)^5+(5*x+3)^3)-(3*(5*x+3)^5-7) en su dominio original. Busca el primer paso que deja de ser válido y elige su reparación; los pasos posteriores pueden arrastrar ese error.
Analiza P(x)=((7*(2*x-1)+4)-(2*(2*x-1)+4)) - ((4*x^3+2)-(4*x^3-6*x)) en su dominio original. Busca el primer paso que deja de ser válido y elige su reparación; los pasos posteriores pueden arrastrar ese error.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: El coeficiente de x^1 en esa forma es -135. → Sustituir ese paso por: El coeficiente de x^1 en esa forma es 135.
La secuencia correcta es: Al desarrollar y reducir queda 125*x^3 + 225*x^2 + 135*x + 34. El coeficiente de x^1 en esa forma es 135. Al sustituir x=2 en la forma reducida se obtiene 2204. La primera discrepancia está en «El coeficiente de x^1 en esa forma es -135.». Se conserva el dominio de la expresión original; x=2 es admisible.
Respuesta: Al sustituir x=2 en la forma reducida se obtiene -1. → Sustituir ese paso por: Al sustituir x=2 en la forma reducida se obtiene 1.
La secuencia correcta es: Al desarrollar y reducir queda 4*x - 7. El coeficiente de x^0 en esa forma es -7. Al sustituir x=2 en la forma reducida se obtiene 1. La primera discrepancia está en «Al sustituir x=2 en la forma reducida se obtiene -1.». Se conserva el dominio de la expresión original; x=2 es admisible.
- Retira agrupaciones mediante operaciones válidas.
- Reúne las partes literales iguales.
- Elimina los coeficientes cero.
Modelo, prueba y reparación
Usa este caso de transferencia: El costo ficticio C(x)=5*x^3+9*x-(5*x^3-2*x)+4 se reduce antes de usarlo. Para x=6, calcula el costo. Escribe el modelo, resuelve y verifica la unidad. Propón después una transformación errónea de ese modelo y demuestra por desarrollo o con un valor permitido dónde falla. Se aceptan redacciones equivalentes que cumplan los criterios.
Solución accesible sin interacción
- Definir cantidades y dominio y escribir el modelo completo.
- Resolver con operaciones y unidad conservadas.
- Aportar una transformación errónea y una prueba concreta que la refute.
Respuesta: C(x)=11*x+4 tras cancelar los cubos. C(6)=66+4=70. El costo es 70 pesos. Como propuesta errónea se puede sumar 4 a la expresión correcta: la diferencia es una constante no nula. Debe mostrarse esa diferencia y conservarse el dominio.
C(x)=11*x+4 tras cancelar los cubos. C(6)=66+4=70. El costo es 70 pesos. Como propuesta errónea se puede sumar 4 a la expresión correcta: la diferencia es una constante no nula. Debe mostrarse esa diferencia y conservarse el dominio.
Compruébalo ahora
Reduce (x+5)*(x-5)+25 y elige su clasificación.
- Monomio de grado cero.
- Monomio de grado dos.
- Binomio de grado dos.
Ver solución explicada
Respuesta: Monomio de grado dos.
Queda x^2 al cancelar las constantes.
Para 3*x^3-3*x^3+4*x-8, elige la pareja grado y número de términos tras reducir.
- Grado uno; dos términos.
- Grado tres; cuatro términos.
- Grado dos; dos términos.
Ver solución explicada
Respuesta: Grado uno; dos términos.
Queda 4*x-8, con máximo exponente uno.
Reduce (2*x^2+5*x+3)/x, con x distinto de cero. Elige la forma final y su clasificación después de dividir todos los términos.
- 2*x+5+3; queda un polinomio.
- 2*x^2+5*x+3/x; no es polinomio.
- 2*x+5+3/x; no es polinomio.
Ver solución explicada
Respuesta: 2*x+5+3/x; no es polinomio.
Al dividir cada término quedan 2*x, 5 y 3/x. El último conserva variable en el denominador; no se puede clasificar el conjunto como polinomio.
Un costo C(x)=6*x^2-2*x^2+3*x-3*x se reduce. ¿Qué describe el resultado?
- Un término lineal con coeficiente cuatro.
- Un término cuadrático con coeficiente cuatro.
- Dos términos cuadráticos con coeficiente dos.
Ver solución explicada
Respuesta: Un término cuadrático con coeficiente cuatro.
Los lineales se cancelan y los cuadrados dejan 4*x^2.
Alineación curricular y fuentes
- Propósito 2 de Pensamiento Matemático II, páginas impresas 16–17; selección editorial parcial. · Marco Curricular Común de la Educación Media Superior. Modelo Educativo 2025. Pensamiento Matemático
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