2.º semestre · Pensamiento Matemático II · MCCEMS 2025Ruta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Reducir sin mezclar partes literales: interpretar cantidades y condiciones.
- Reducir sin mezclar partes literales: transformar expresiones conservando operaciones.
- Reducir sin mezclar partes literales: detectar un error y justificar una reparación.
Antes de empezar
- Operaciones con números reales, signos, fracciones y potencias del primer semestre.
Comprender antes de operar
En una suma algebraica se reúnen cantidades con la misma parte literal. Cinco veces x^2 y dos veces x^2 producen siete veces x^2; no cambia el exponente porque no se están multiplicando potencias. En cambio, x y x^2 son cantidades distintas del modelo y permanecen como términos separados.
El signo pertenece al coeficiente. En 6*x-4*x+2*x^2, los coeficientes de x dejan dos, mientras el término cuadrático permanece. Si un grupo se resta, hay que cambiar todos sus signos antes de reunir términos. Separar estas dos decisiones evita que una suma aparentemente sencilla oculte una resta mal distribuida.
Reducir no cambia el valor de la expresión para ningún dato permitido. Se puede comprobar con un valor y justificar por la distributiva: 5*x^2+2*x^2=(5+2)*x^2. La comprobación numérica ayuda a detectar un error; la propiedad explica por qué la reducción funciona de manera general.
- Reducción
- Reducción: reunión de coeficientes de términos semejantes sin modificar su parte literal.
Un procedimiento comprobable
- Marca la parte literal de cada término.
- Conserva el signo de su coeficiente.
- Suma únicamente los coeficientes de cada grupo semejante.
- Comprueba que la expresión reducida conserva el valor.
Distingue dos casos
- Suma
2*x^2+3*x^2=5*x^2.
- Producto
2*x^2*3*x^2=6*x^4.
Reparar sin perder datos
2*x+3*x^2=5*x^3.
Los términos no se reúnen: queda 3*x^2+2*x.
La suma no permite sumar exponentes ni mezclar grados.
Elige y justificaElige y justifica
Al reducir 4*x^2-3*x+6*x^2+2*x, ¿qué resultado respeta las partes literales?
Se propone 2*x^2+3*x=5*x^2. ¿Qué verificación muestra un contraejemplo correcto?
Solución accesible sin interacción
Respuesta: 10*x^2-x — Se reúnen 4+6=10 en x^2 y -3+2=-1 en x: queda 10*x^2-x.
Los coeficientes de x^2 suman diez; los de x suman -uno. No se suman exponentes ni se reúnen grados distintos.
Respuesta: En x=2: 14 frente a 20. — En x=2: 2*4+3*2=14 y 5*4=20.
La igualdad coincide en cero y uno pero falla en dos; una coincidencia puntual no permite reunir grados distintos.
Transforma y asociaTransforma y asocia
En cada expresión reemplaza x por y-2 con paréntesis, desarrolla y reduce; asocia la forma final. Si el denominador contiene x, excluye los valores que lo anulen y traslada esa condición a y.
Reduce primero los términos añadidos y luego la expresión completa; cada destino tiene una sola pareja.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: (5*x^2-2*x)+(3*x^2+7*x)-4 → 8*y^2 - 27*y + 18; (6*x-3*x^2)-(2*x+4*x^2)+1 → -7*y^2 + 32*y - 35; 2*(x^2+3*x)-5*x+x^2 → 3*y^2 - 11*y + 10
Al sustituir x por y - 2 en (5*x^2-2*x)+(3*x^2+7*x)-4, se obtiene 8*y^2 - 27*y + 18. Al sustituir x por y - 2 en (6*x-3*x^2)-(2*x+4*x^2)+1, se obtiene -7*y^2 + 32*y - 35. Al sustituir x por y - 2 en 2*(x^2+3*x)-5*x+x^2, se obtiene 3*y^2 - 11*y + 10.
Respuesta: (5*x^2-2*x)+(3*x^2+7*x)-4 + (2*x) - (1*x) → 8*x^2 + 6*x - 4; 2*(x^2+3*x)-5*x+x^2 + (4*x) - (3*x) → 3*x^2 + 2*x; (x^2+4*x)+3*(x^2-x)-7 + (6*x) - (5*x) → 4*x^2 + 2*x - 7
Al desarrollar y reducir (5*x^2-2*x)+(3*x^2+7*x)-4 + (2*x) - (1*x), se obtiene 8*x^2 + 6*x - 4. Al desarrollar y reducir 2*(x^2+3*x)-5*x+x^2 + (4*x) - (3*x), se obtiene 3*x^2 + 2*x. Al desarrollar y reducir (x^2+4*x)+3*(x^2-x)-7 + (6*x) - (5*x), se obtiene 4*x^2 + 2*x - 7.
Repara el paso incorrectoRepara el paso incorrecto
Analiza P(x)=(9*(5*x+3)^3+2*(5*x+3))-(4*(5*x+3)^3-3*(5*x+3))+6 en su dominio original. Busca el primer paso que deja de ser válido y elige su reparación; los pasos posteriores pueden arrastrar ese error.
Analiza P(x)=(8*(2*x-1)-2*(3*(2*x-1)-4)+(2*x-1)^2) - ((9*x^3+2*x)-(4*x^3-3*x)+6) en su dominio original. Busca el primer paso que deja de ser válido y elige su reparación; los pasos posteriores pueden arrastrar ese error.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Al desarrollar y reducir queda 625*x^3 + 1125*x^2 - 700*x + 156. → Sustituir ese paso por: Al desarrollar y reducir queda 625*x^3 + 1125*x^2 + 700*x + 156.
La secuencia correcta es: Al desarrollar y reducir queda 625*x^3 + 1125*x^2 + 700*x + 156. El coeficiente de x^1 en esa forma es 700. Al sustituir x=2 en la forma reducida se obtiene 11056. La primera discrepancia está en «Al desarrollar y reducir queda 625*x^3 + 1125*x^2 - 700*x + 156.». Se conserva el dominio de la expresión original; x=2 es admisible.
Respuesta: El coeficiente de x^0 en esa forma es -1. → Sustituir ese paso por: El coeficiente de x^0 en esa forma es 1.
La secuencia correcta es: Al desarrollar y reducir queda -5*x^3 + 4*x^2 - 5*x + 1. El coeficiente de x^0 en esa forma es 1. Al sustituir x=2 en la forma reducida se obtiene -33. La primera discrepancia está en «El coeficiente de x^0 en esa forma es -1.». Se conserva el dominio de la expresión original; x=2 es admisible.
- Marca la parte literal de cada término.
- Conserva el signo de su coeficiente.
- Suma únicamente los coeficientes de cada grupo semejante.
Modelo, prueba y reparación
Usa este caso de transferencia: Dos lotes distintos tienen costos 3*x^2+5*x y 2*x^2-3*x pesos. Se paga una rebaja única de 6 pesos. Con x=4, halla el costo conjunto. Escribe el modelo, resuelve y verifica la unidad. Propón después una transformación errónea de ese modelo y demuestra por desarrollo o con un valor permitido dónde falla. Se aceptan redacciones equivalentes que cumplan los criterios.
Solución accesible sin interacción
- Definir cantidades y dominio y escribir el modelo completo.
- Resolver con operaciones y unidad conservadas.
- Aportar una transformación errónea y una prueba concreta que la refute.
Respuesta: C(x)=5*x^2+2*x-6. C(4)=80+8-6=82. Los lotes distintos cuestan 82 pesos juntos. Como propuesta errónea se puede sumar 5 a la expresión correcta: la diferencia es una constante no nula. Debe mostrarse esa diferencia y conservarse el dominio.
C(x)=5*x^2+2*x-6. C(4)=80+8-6=82. Los lotes distintos cuestan 82 pesos juntos. Como propuesta errónea se puede sumar 5 a la expresión correcta: la diferencia es una constante no nula. Debe mostrarse esa diferencia y conservarse el dominio.
Compruébalo ahora
Reduce 7*x^2-4*x+2*x^2+3*x y elige la forma equivalente.
- 9*x^2-x
- 9*x^3-x
- 8*x^2
Ver solución explicada
Respuesta: 9*x^2-x
Los cuadrados dejan nueve y los lineales dejan menos uno.
Dos lotes distintos cuestan 2*x^2+6*x y 3*x^2-4*x. Con x=3, elige el total correctamente interpretado.
- 45 pesos por ambos lotes.
- 57 pesos por ambos lotes.
- 51 pesos por ambos lotes.
Ver solución explicada
Respuesta: 51 pesos por ambos lotes.
El total es 5*x^2+2*x: 45+6=51 pesos.
Se afirma 3*x+2*x^2=5*x^2. ¿Qué caso refuta la igualdad con cuentas correctas?
- x=0: 0 frente a 2.
- x=3: 27 frente a 45.
- x=-3: 27 frente a 45.
Ver solución explicada
Respuesta: x=3: 27 frente a 45.
En tres la diferencia se hace visible; cero y uno coinciden.
Después de reducir 5*x^3-5*x^3+8*x-2*x+4, ¿qué descripción corresponde?
- Binomio 6*x+4 de grado uno.
- Trinomio 10*x^3+6*x+4 de grado tres.
- Monomio 10*x de grado uno.
Ver solución explicada
Respuesta: Binomio 6*x+4 de grado uno.
Los cubos se cancelan y permanece una constante además de 6*x.
Alineación curricular y fuentes
- Propósito 3 de Pensamiento Matemático II, páginas impresas 16–17; selección editorial parcial. · Marco Curricular Común de la Educación Media Superior. Modelo Educativo 2025. Pensamiento Matemático
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Practicar esto: Reducir términos semejantes con signosProductos y cocientes con sus condiciones