2.º semestre · Pensamiento Matemático II · MCCEMS 2025Ruta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Del relato a una expresión con sentido: interpretar cantidades y condiciones.
- Del relato a una expresión con sentido: transformar expresiones conservando operaciones.
- Del relato a una expresión con sentido: detectar un error y justificar una reparación.
Antes de empezar
- Operaciones con números reales, signos, fracciones y potencias del primer semestre.
Comprender antes de operar
Una letra representa una cantidad que debemos definir. En un taller ficticio, x puede ser el precio de un cuaderno en pesos; no significa simplemente «cuaderno». Si se compran cuatro, 4*x representa el precio conjunto. Si x pasa a significar el número de cuadernos, el coeficiente debe ser el precio unitario. La misma letra puede usarse en dos modelos distintos, pero su significado no cambia a mitad de un cálculo.
El orden de un relato no determina el orden de sus operaciones. «El triple de lo que queda después de retirar dos» se modela por 3*(x-2). «Al triple se le retiran dos» es 3*x-2. Para x=5 dan nueve y trece; ese caso permite distinguirlas. Agrupar evita que el lector aplique un cambio a una parte cuando la consigna lo aplica al conjunto.
Al traducir, decide qué pertenece al mismo fondo y qué se añade después. Una cuota fija no se multiplica por el número de artículos; un precio por artículo sí. Declara la unidad de la cantidad final y comprueba con un valor permitido. Los datos ajenos al costo, como el color de una libreta, no entran en el modelo por el mero hecho de aparecer en el relato.
- Modelo algebraico
- Modelo algebraico: expresión que conserva las relaciones de un caso con cantidades y unidades definidas.
Un procedimiento comprobable
- Nombra las cantidades y sus unidades.
- Distingue costos por unidad de cargos que se aplican una sola vez.
- Encierra en paréntesis los conjuntos completos.
- Comprueba el significado sustituyendo un valor permitido.
Distingue dos casos
- Antes de multiplicar
2*(x-3): primero se retiran tres y luego se duplica lo restante.
- Después de multiplicar
2*x-3: se duplica la cantidad y se retiran tres una sola vez.
Reparar sin perder datos
Tres boletos con una rebaja única de 9 pesos: 3*(x-9).
El costo correcto es 3*x-9.
La propuesta equivocada aplica el cupón tres veces.
Elige y justificaElige y justifica
Un boleto cuesta x pesos. Se compran tres; un cupón reduce 8 pesos al total y el envío cuesta 5. ¿Qué modelo conserva esos conceptos?
Para 3*(x-2), ¿qué caso refuta la propuesta 3*x-2?
Solución accesible sin interacción
Respuesta: 3*x-8+5 — Tres boletos, menos cupón único, más envío: 3*x-8+5.
El cupón se aplica al total una vez y el envío se suma; no reduce el precio de cada boleto.
Respuesta: x=0: dan -6 y -2. — En cero los resultados −6 y −2 son distintos.
En x=0 se ven valores distintos. Los otros textos atribuyen igualdad a resultados que también difieren y no describen correctamente su caso.
Transforma y asociaTransforma y asocia
En cada expresión reemplaza x por y-2 con paréntesis, desarrolla y reduce; asocia la forma final. Si el denominador contiene x, excluye los valores que lo anulen y traslada esa condición a y.
Reduce primero los términos añadidos y luego la expresión completa; cada destino tiene una sola pareja.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: 2*(x-5)+3 → 2*y - 11; 3*(x+4)-8 → 3*y - 2; (6*x+18)/3-2 → 2*y
Al sustituir x por y - 2 en 2*(x-5)+3, se obtiene 2*y - 11. Al sustituir x por y - 2 en 3*(x+4)-8, se obtiene 3*y - 2. Al sustituir x por y - 2 en (6*x+18)/3-2, se obtiene 2*y. Se conserva el dominio de cada cociente original; cancelar una variable no incorpora los datos que anulaban su denominador.
Respuesta: (6*x+12)/3-7 + (2*x) - (1*x) → 3*x - 3; (10*x-20)/5+6 + (4*x) - (3*x) → 3*x + 2; (9*x+27)/3-4 + (6*x) - (5*x) → 4*x + 5
Al desarrollar y reducir (6*x+12)/3-7 + (2*x) - (1*x), se obtiene 3*x - 3. Al desarrollar y reducir (10*x-20)/5+6 + (4*x) - (3*x), se obtiene 3*x + 2. Al desarrollar y reducir (9*x+27)/3-4 + (6*x) - (5*x), se obtiene 4*x + 5. Se conserva el dominio de cada cociente original; cancelar una variable no incorpora los datos que anulaban su denominador.
Repara el paso incorrectoRepara el paso incorrecto
Analiza P(x)=4*((5*x+3)-2)+7 en su dominio original. Busca el primer paso que deja de ser válido y elige su reparación; los pasos posteriores pueden arrastrar ese error.
Analiza P(x)=(5*(2-(2*x-1))+9) - (7-2*(x+4)) en su dominio original. Busca el primer paso que deja de ser válido y elige su reparación; los pasos posteriores pueden arrastrar ese error.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Al desarrollar y reducir queda 11 - 20*x. → Sustituir ese paso por: Al desarrollar y reducir queda 20*x + 11.
La secuencia correcta es: Al desarrollar y reducir queda 20*x + 11. El coeficiente de x^1 en esa forma es 20. Al sustituir x=2 en la forma reducida se obtiene 51. La primera discrepancia está en «Al desarrollar y reducir queda 11 - 20*x.». Se conserva el dominio de la expresión original; x=2 es admisible.
Respuesta: El coeficiente de x^0 en esa forma es -25. → Sustituir ese paso por: El coeficiente de x^0 en esa forma es 25.
La secuencia correcta es: Al desarrollar y reducir queda 25 - 8*x. El coeficiente de x^0 en esa forma es 25. Al sustituir x=2 en la forma reducida se obtiene 9. La primera discrepancia está en «El coeficiente de x^0 en esa forma es -25.». Se conserva el dominio de la expresión original; x=2 es admisible.
- Nombra las cantidades y sus unidades.
- Distingue costos por unidad de cargos que se aplican una sola vez.
- Encierra en paréntesis los conjuntos completos.
Modelo, prueba y reparación
Usa este caso de transferencia: En un caso ficticio, se pagan cuatro cuadernos de x pesos; se descuentan 9 pesos del total y se añaden 6 de envío. Para x=13, ¿cuánto se paga? Escribe el modelo, resuelve y verifica la unidad. Propón después una transformación errónea de ese modelo y demuestra por desarrollo o con un valor permitido dónde falla. Se aceptan redacciones equivalentes que cumplan los criterios.
Solución accesible sin interacción
- Definir cantidades y dominio y escribir el modelo completo.
- Resolver con operaciones y unidad conservadas.
- Aportar una transformación errónea y una prueba concreta que la refute.
Respuesta: T(x)=4*x-9+6. T(13)=52-9+6=49. El pago final es 49 pesos. Como propuesta errónea se puede sumar 2 a la expresión correcta: la diferencia es una constante no nula. Debe mostrarse esa diferencia y conservarse el dominio.
T(x)=4*x-9+6. T(13)=52-9+6=49. El pago final es 49 pesos. Como propuesta errónea se puede sumar 2 a la expresión correcta: la diferencia es una constante no nula. Debe mostrarse esa diferencia y conservarse el dominio.
Compruébalo ahora
En una compra ficticia se adquieren cinco artículos de p pesos, se retiran 12 pesos del total y se añade envío de 8. Elige el modelo completo.
- 5*p-12+8
- 5*(p-12)+8
- 5*p-(12+8)
Ver solución explicada
Respuesta: 5*p-12+8
La rebaja se resta una vez y el envío se añade después.
Una caja y una bolsa aportan x y 26 pesos. Se pagan 11 del fondo común y se reparte lo restante entre tres personas. Elige la parte individual.
- x+(26-11)/3
- (x+26)/3-11
- (x+26-11)/3
Ver solución explicada
Respuesta: (x+26-11)/3
El pago sale antes de dividir todo el fondo.
Se propone 4*(q-2)=4*q-2. ¿Qué comparación da una refutación bien calculada?
- q=1: -4 frente a 4.
- q=3: 4 frente a 10.
- q=2: 0 frente a 8.
Ver solución explicada
Respuesta: q=3: 4 frente a 10.
Distribuir el cuatro también multiplica la resta; en tres los resultados difieren.
Una tarifa es 18*n+35 pesos por n unidades. Compara n=2 y n=4: elige los dos costos y el cambio firmado.
- 71 y 107 pesos; sube 36.
- 71 y 142 pesos; sube 71.
- 106 y 142 pesos; sube 36.
Ver solución explicada
Respuesta: 71 y 107 pesos; sube 36.
C(2)=36+35=71 y C(4)=72+35=107; la diferencia es 36. Duplicar n no duplica el cargo fijo ni la tarifa total.
Alineación curricular y fuentes
- Propósito 1 de Pensamiento Matemático II, páginas impresas 16–17; selección editorial parcial. · Marco Curricular Común de la Educación Media Superior. Modelo Educativo 2025. Pensamiento Matemático
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