2.º semestre · Pensamiento Matemático II · MCCEMS 2025Ruta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Sustituir y comprobar valores permitidos: interpretar cantidades y condiciones.
- Sustituir y comprobar valores permitidos: transformar expresiones conservando operaciones.
- Sustituir y comprobar valores permitidos: detectar un error y justificar una reparación.
Antes de empezar
- Operaciones con números reales, signos, fracciones y potencias del primer semestre.
Comprender antes de operar
Evaluar una expresión significa asignar cantidades a sus letras conservando los signos y las agrupaciones. En x=-4, escribir x^2 como (-4)^2 evita confundirlo con -4^2, donde el signo externo no forma parte de la base. El cuadrado vale dieciséis; la negación de ese cuadrado vale menos dieciséis. No son dos maneras de escribir la misma operación.
Sustituir una cantidad no modifica todas las apariciones de una letra por costumbre. Si se pide cambiar x por x+1 únicamente en una primera expresión y luego sumar una segunda, el cambio afecta solo a la primera. Conviene escribir los dos grupos completos antes de operar. También se deben registrar restricciones: un denominador no puede valer cero aunque una forma reducida parezca admitirlo.
Una comprobación numérica puede refutar una equivalencia cuando produce resultados distintos. Si da el mismo número, solo acredita ese caso; no demuestra que las expresiones sean iguales para todo valor. Esta diferencia resulta útil al revisar una transformación: el cálculo de prueba se combina con una justificación de las operaciones realizadas.
- Evaluación
- Evaluación: valor obtenido al sustituir datos admitidos por el dominio de una expresión.
Un procedimiento comprobable
- Identifica qué letras y qué apariciones se sustituyen.
- Escribe cada dato negativo entre paréntesis.
- Comprueba que ningún denominador se anule.
- Respeta la jerarquía y verifica el alcance de la conclusión.
Distingue dos casos
- Base negativa
(-3)^2 contiene dos factores negativos.
- Signo externo
-(3^2) es la negación de un cuadrado positivo.
Reparar sin perder datos
En x=-3, -x^2 se convierte en (-x)^2.
Se convierte en -((-3)^2).
El signo externo no se incorpora a la base.
Elige y justificaElige y justifica
Se evalúa -x^2+2*x en x=-3. ¿Qué cálculo conserva el signo externo?
Con x=-2, ¿qué reemplazo deja bien agrupada la expresión 5-x^2?
Solución accesible sin interacción
Respuesta: -(-3)^2+2*(-3)=-15 — Elevo −3 al cuadrado y luego aplico el menos: −9−6=−15.
La potencia afecta a x y el signo externo permanece delante del cuadrado; el segundo término también recibe el valor negativo.
Respuesta: 5-(-2)^2 — El dato −2 queda agrupado y solo su cuadrado se resta de cinco.
Se reemplaza x completo; la resta externa permanece fuera de la potencia.
Transforma y asociaTransforma y asocia
En cada expresión reemplaza x por y-2 con paréntesis, desarrolla y reduce; asocia la forma final. Si el denominador contiene x, excluye los valores que lo anulen y traslada esa condición a y.
Reduce primero los términos añadidos y luego la expresión completa; cada destino tiene una sola pareja.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: 2*x^2-3*x+1 → 2*y^2 - 11*y + 15; (x-4)*(x+2)+5 → y^2 - 6*y + 5; 3*(x+1)^2-2 → 3*y^2 - 6*y + 1
Al sustituir x por y - 2 en 2*x^2-3*x+1, se obtiene 2*y^2 - 11*y + 15. Al sustituir x por y - 2 en (x-4)*(x+2)+5, se obtiene y^2 - 6*y + 5. Al sustituir x por y - 2 en 3*(x+1)^2-2, se obtiene 3*y^2 - 6*y + 1.
Respuesta: 2*x^2-3*x+1 + (2*x) - (1*x) → 2*x^2 - 2*x + 1; 3*(x+1)^2-2 + (4*x) - (3*x) → 3*x^2 + 7*x + 1; 5-2*(x-3)^2 + (6*x) - (5*x) → -2*x^2 + 13*x - 13
Al desarrollar y reducir 2*x^2-3*x+1 + (2*x) - (1*x), se obtiene 2*x^2 - 2*x + 1. Al desarrollar y reducir 3*(x+1)^2-2 + (4*x) - (3*x), se obtiene 3*x^2 + 7*x + 1. Al desarrollar y reducir 5-2*(x-3)^2 + (6*x) - (5*x), se obtiene -2*x^2 + 13*x - 13.
Repara el paso incorrectoRepara el paso incorrecto
Analiza P(x)=((5*x+3)^2+4*(5*x+3))/2-7 en su dominio original. Busca el primer paso que deja de ser válido y elige su reparación; los pasos posteriores pueden arrastrar ese error.
Analiza P(x)=((2*x-1)*(2*(2*x-1)-5)+9) - ((x^2+4*x)/2-7) en su dominio original. Busca el primer paso que deja de ser válido y elige su reparación; los pasos posteriores pueden arrastrar ese error.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Al sustituir x=2 en la forma reducida se obtiene -207/2. → Sustituir ese paso por: Al sustituir x=2 en la forma reducida se obtiene 207/2.
La secuencia correcta es: Al desarrollar y reducir queda 25*x^2/2 + 25*x + 7/2. El coeficiente de x^1 en esa forma es 25. Al sustituir x=2 en la forma reducida se obtiene 207/2. La primera discrepancia está en «Al sustituir x=2 en la forma reducida se obtiene -207/2.». Se conserva el dominio de la expresión original; x=2 es admisible.
Respuesta: Al desarrollar y reducir queda 15*x^2/2 - 20*x - 23. → Sustituir ese paso por: Al desarrollar y reducir queda 15*x^2/2 - 20*x + 23.
La secuencia correcta es: Al desarrollar y reducir queda 15*x^2/2 - 20*x + 23. El coeficiente de x^0 en esa forma es 23. Al sustituir x=2 en la forma reducida se obtiene 13. La primera discrepancia está en «Al desarrollar y reducir queda 15*x^2/2 - 20*x - 23.». Se conserva el dominio de la expresión original; x=2 es admisible.
- Identifica qué letras y qué apariciones se sustituyen.
- Escribe cada dato negativo entre paréntesis.
- Comprueba que ningún denominador se anule.
Modelo, prueba y reparación
Usa este caso de transferencia: La variación simulada de un saldo se modela por x^2-4*x-7 pesos. Para x=-2, interpreta y calcula el cambio firmado. Escribe el modelo, resuelve y verifica la unidad. Propón después una transformación errónea de ese modelo y demuestra por desarrollo o con un valor permitido dónde falla. Se aceptan redacciones equivalentes que cumplan los criterios.
Solución accesible sin interacción
- Definir cantidades y dominio y escribir el modelo completo.
- Resolver con operaciones y unidad conservadas.
- Aportar una transformación errónea y una prueba concreta que la refute.
Respuesta: V(x)=x^2-4*x-7. V(-2)=4+8-7=5. El cambio positivo es de 5 pesos. Como propuesta errónea se puede sumar 3 a la expresión correcta: la diferencia es una constante no nula. Debe mostrarse esa diferencia y conservarse el dominio.
V(x)=x^2-4*x-7. V(-2)=4+8-7=5. El cambio positivo es de 5 pesos. Como propuesta errónea se puede sumar 3 a la expresión correcta: la diferencia es una constante no nula. Debe mostrarse esa diferencia y conservarse el dominio.
Compruébalo ahora
Elige el cálculo completo de x^2+3*x-2 para x=-4.
- -16-12-2=-30
- 16+12-2=26
- 16-12-2=2
Ver solución explicada
Respuesta: 16-12-2=2
El cuadrado es positivo y el término lineal conserva el signo del dato.
Para (x^2-9)/(x-3), reduce el cociente y evalúa x=4; decide después si la forma reducida permite recuperar x=3.
- En cuatro vale 1; tres continúa excluido.
- En cuatro vale 7; tres continúa excluido.
- En cuatro vale 7; en tres también admite 6.
Ver solución explicada
Respuesta: En cuatro vale 7; tres continúa excluido.
Factorizar deja (x-3)*(x+3)/(x-3)=x+3 con x distinto de tres. En cuatro da siete; cancelar no recupera el punto excluido.
Las propuestas x^2 y x coinciden en x=1. Elige una prueba correctamente calculada que refuta su equivalencia para todos los reales.
- x=2: 4 frente a 2.
- x=3: 6 frente a 3.
- x=-2: -4 frente a -2.
Ver solución explicada
Respuesta: x=2: 4 frente a 2.
En dos los valores difieren; los otros cálculos no conservan el cuadrado: 3^2=9 y (-2)^2=4.
Se cambia x por x+2 solo en 3*x-1; después se suma 2*x. Elige la forma reducida.
- 5*x+9
- 5*x+1
- 5*x+5
Ver solución explicada
Respuesta: 5*x+5
El primer grupo queda 3*x+5 y el segundo permanece 2*x.
Alineación curricular y fuentes
- Propósito 1 de Pensamiento Matemático II, páginas impresas 16–17; selección editorial parcial. · Marco Curricular Común de la Educación Media Superior. Modelo Educativo 2025. Pensamiento Matemático
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