2.º semestre · Pensamiento Matemático II · MCCEMS 2025Ruta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Distribución y productos completos: interpretar cantidades y condiciones.
- Distribución y productos completos: transformar expresiones conservando operaciones.
- Distribución y productos completos: detectar un error y justificar una reparación.
Antes de empezar
- Operaciones con números reales, signos, fracciones y potencias del primer semestre.
Comprender antes de operar
Un producto de expresiones combina cada término de un factor con cada término del otro. Para (x+2)*(x-4), aparecen x^2, -4*x, 2*x y -8. Los dos lineales se reúnen y queda x^2-2*x-8. Multiplicar solo los primeros términos y las constantes omite una parte del producto.
Un modelo de área ayuda a interpretar los productos, pero requiere lados positivos. Si un lado es x-4, el contexto exige x mayor que cuatro; no se usa una medida negativa porque el polinomio pueda evaluarse. La distribución algebraica sigue siendo válida para todo real, mientras su interpretación geométrica tiene ese dominio específico.
Después del producto puede haber otro cambio: un recorte, un cargo o una suma. Primero se conserva el producto completo y luego se aplica la modificación declarada. Simplificar antes o después puede ser equivalente, siempre que no se pierda ningún término. Verificar coeficientes y unidades es una comprobación más fuerte que buscar una forma que se parezca al ejemplo.
- Distribución
- Distribución: multiplicación de cada término de una suma por el factor que la afecta.
Un procedimiento comprobable
- Marca todos los términos de cada factor.
- Construye cada producto, incluidos los cruzados.
- Reúne los términos semejantes conservando signos.
- Aplica el recorte o cargo posterior y comprueba dominio.
Distingue dos casos
- Un factor monomial
3*x*(x+2)=3*x^2+6*x.
- Dos factores binomiales
(x+3)*(x-2)=x^2+x-6.
Reparar sin perder datos
(x+5)*(x-1)=x^2-5.
Queda x^2+4*x-5.
Faltan los productos cruzados.
Elige y justificaElige y justifica
Con x positivo, una pieza tiene área 2*x*(x+3); se recorta 4*x. ¿Qué expresión representa el área útil?
Para (x+2)*(x-5), ¿qué término procede de reunir los productos cruzados?
Solución accesible sin interacción
Respuesta: 2*x^2+2*x — Distribuir da 2*x^2+6*x; quitar 4*x deja 2*x^2+2*x.
La distribución da 2*x^2+6*x; al retirar 4*x quedan dos términos, 2*x^2 y 2*x.
Respuesta: -3*x, de -5*x y 2*x. — Los productos cruzados son -5*x y 2*x; al sumarlos con sus signos se obtiene -3*x.
Los productos cruzados tienen coeficientes -cinco y dos; el producto de las constantes forma la constante.
Transforma y asociaTransforma y asocia
En cada expresión reemplaza x por y-2 con paréntesis, desarrolla y reduce; asocia la forma final. Si el denominador contiene x, excluye los valores que lo anulen y traslada esa condición a y.
Reduce primero los términos añadidos y luego la expresión completa; cada destino tiene una sola pareja.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: 3*x*(2*x-5)+4*x → 6*y^2 - 35*y + 46; -2*x*(3*x+4)+x^2 → -5*y^2 + 12*y - 4; 4*(x^2-2*x+3)-x^2 → 3*y^2 - 20*y + 40
Al sustituir x por y - 2 en 3*x*(2*x-5)+4*x, se obtiene 6*y^2 - 35*y + 46. Al sustituir x por y - 2 en -2*x*(3*x+4)+x^2, se obtiene -5*y^2 + 12*y - 4. Al sustituir x por y - 2 en 4*(x^2-2*x+3)-x^2, se obtiene 3*y^2 - 20*y + 40.
Respuesta: (x+3)*(x-5) + (2*x) - (1*x) → x^2 - x - 15; (3*x-2)*(x-3) + (4*x) - (3*x) → 3*x^2 - 10*x + 6; (x+6)*(x+2) + (6*x) - (5*x) → x^2 + 9*x + 12
Al desarrollar y reducir (x+3)*(x-5) + (2*x) - (1*x), se obtiene x^2 - x - 15. Al desarrollar y reducir (3*x-2)*(x-3) + (4*x) - (3*x), se obtiene 3*x^2 - 10*x + 6. Al desarrollar y reducir (x+6)*(x+2) + (6*x) - (5*x), se obtiene x^2 + 9*x + 12.
Repara el paso incorrectoRepara el paso incorrecto
Analiza P(x)=5*(5*x+3)*((5*x+3)-2)-3*((5*x+3)+1) en su dominio original. Busca el primer paso que deja de ser válido y elige su reparación; los pasos posteriores pueden arrastrar ese error.
Analiza P(x)=((4*(2*x-1)+3)*((2*x-1)-2)) - ((2*x-5)*(3*x+2)) en su dominio original. Busca el primer paso que deja de ser válido y elige su reparación; los pasos posteriores pueden arrastrar ese error.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Al sustituir x=2 en la forma reducida se obtiene -673. → Sustituir ese paso por: Al sustituir x=2 en la forma reducida se obtiene 673.
La secuencia correcta es: Al desarrollar y reducir queda 125*x^2 + 85*x + 3. El coeficiente de x^1 en esa forma es 85. Al sustituir x=2 en la forma reducida se obtiene 673. La primera discrepancia está en «Al sustituir x=2 en la forma reducida se obtiene -673.». Se conserva el dominio de la expresión original; x=2 es admisible.
Respuesta: Al desarrollar y reducir queda 10*x^2 - 15*x - 13. → Sustituir ese paso por: Al desarrollar y reducir queda 10*x^2 - 15*x + 13.
La secuencia correcta es: Al desarrollar y reducir queda 10*x^2 - 15*x + 13. El coeficiente de x^0 en esa forma es 13. Al sustituir x=2 en la forma reducida se obtiene 23. La primera discrepancia está en «Al desarrollar y reducir queda 10*x^2 - 15*x - 13.». Se conserva el dominio de la expresión original; x=2 es admisible.
- Marca todos los términos de cada factor.
- Construye cada producto, incluidos los cruzados.
- Reúne los términos semejantes conservando signos.
Modelo, prueba y reparación
Usa este caso de transferencia: La venta ficticia de x paquetes deja 3*x*(x+2) pesos de ingreso y cuesta 4*x pesos. Para x=4, calcula la diferencia entre ingreso y costo. Escribe el modelo, resuelve y verifica la unidad. Propón después una transformación errónea de ese modelo y demuestra por desarrollo o con un valor permitido dónde falla. Se aceptan redacciones equivalentes que cumplan los criterios.
Solución accesible sin interacción
- Definir cantidades y dominio y escribir el modelo completo.
- Resolver con operaciones y unidad conservadas.
- Aportar una transformación errónea y una prueba concreta que la refute.
Respuesta: D(x)=3*x*(x+2)-4*x=3*x^2+2*x. D(4)=48+8=56. La diferencia positiva es 56 pesos. Como propuesta errónea se puede sumar 9 a la expresión correcta: la diferencia es una constante no nula. Debe mostrarse esa diferencia y conservarse el dominio.
D(x)=3*x*(x+2)-4*x=3*x^2+2*x. D(4)=48+8=56. La diferencia positiva es 56 pesos. Como propuesta errónea se puede sumar 9 a la expresión correcta: la diferencia es una constante no nula. Debe mostrarse esa diferencia y conservarse el dominio.
Compruébalo ahora
Desarrolla 4*x*(x-3)+5*x y elige la forma reducida.
- 4*x^2+2*x
- 4*x^2-12+5*x
- 4*x^2-7*x
Ver solución explicada
Respuesta: 4*x^2-7*x
El producto aporta -12*x y al sumar 5*x quedan -7*x.
Un panel tiene lados x+2 y x-3 metros, con x mayor o igual que 4; se retiran 4 m² de una zona contenida en él. Elige su área útil.
- x^2-x-2
- x^2-x-10
- x^2+5*x-10
Ver solución explicada
Respuesta: x^2-x-10
(x+2)*(x-3)-4=x^2-x-10. Para x>=4 el área inicial es como mínimo 6 m², por lo que se puede retirar la zona de 4 m² y quedan al menos 2 m².
Para (2*x-1)*(x+5), elige el desarrollo completo.
- 2*x^2+9*x-5
- 2*x^2+10*x-5
- 2*x^2-6*x-5
Ver solución explicada
Respuesta: 2*x^2+9*x-5
Los términos cruzados son 10*x y -x; juntos dejan nueve.
Un modelo de área A=(x+6)*(x-2) se evalúa en x=1. Calcula ambos lados y su producto; elige la conclusión geométrica que conserva las cuentas.
- Lados 7 y 1; área 7: representa el panel real.
- Lados 7 y -1; área 6: no representa el panel real.
- Lados 7 y -1; área -7: no representa el panel.
Ver solución explicada
Respuesta: Lados 7 y -1; área -7: no representa el panel.
Al sustituir quedan 1+6=7 y 1-2=-1; el producto es -7. La cuenta algebraica se puede efectuar, pero no corresponde a un panel con dos longitudes positivas.
Alineación curricular y fuentes
- Propósito 4 de Pensamiento Matemático II, páginas impresas 16–17; selección editorial parcial. · Marco Curricular Común de la Educación Media Superior. Modelo Educativo 2025. Pensamiento Matemático
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