2.º semestre · Pensamiento Matemático II · MCCEMS 2025Ruta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Productos notables con comprobación: interpretar cantidades y condiciones.
- Productos notables con comprobación: transformar expresiones conservando operaciones.
- Productos notables con comprobación: detectar un error y justificar una reparación.
Antes de empezar
- Operaciones con números reales, signos, fracciones y potencias del primer semestre.
Comprender antes de operar
Un cuadrado de binomio es el producto del binomio por sí mismo. (a+b)^2 produce a^2, dos términos a*b y b^2; por eso el término central es 2*a*b. En (a-b)^2 los dos productos cruzados son negativos y el cuadrado del segundo término sigue siendo positivo.
Los conjugados comparten un término y tienen los otros opuestos: (a+b)*(a-b). Sus productos cruzados se cancelan y queda a^2-b^2. No basta que dos factores usen las mismas letras: (x+4)*(x-2) conserva un término lineal y no aplica esa cancelación. El patrón se verifica por operaciones, no por el nombre del producto.
Se puede usar el patrón para elegir una transformación eficiente, pero es necesario justificar sus condiciones. Con un caso numérico se detecta la omisión de un doble producto; con el desarrollo se prueba una identidad. La interpretación de un área añade restricciones para que ambos lados representen longitudes positivas.
- Conjugados
- Conjugados: binomios con un término común y otros términos opuestos.
Un procedimiento comprobable
- Distingue un cuadrado de un producto de conjugados.
- Identifica los términos completos, incluidos sus coeficientes.
- Calcula cuadrados y doble producto, o cancela los cruzados.
- Comprueba desarrollando y registra las condiciones del caso.
Distingue dos casos
- Cuadrado
(x+4)^2=x^2+8*x+16.
- Conjugados
(x+4)*(x-4)=x^2-16.
Reparar sin perder datos
(3*x-2)^2=9*x^2-6*x+4.
Queda 9*x^2-12*x+4.
Se necesitan dos productos cruzados, no uno.
Elige y justificaElige y justifica
Para (2*x-3)^2, ¿qué desarrollo conserva los productos cruzados?
Desarrolla (x+4)*(x-3). ¿Qué resultado muestra por qué no se cancela el término cruzado?
Solución accesible sin interacción
Respuesta: 4*x^2-12*x+9 — Se suman los cruzados: -6*x-6*x=-12*x; la constante es (-3)^2=9.
Los dos productos cruzados son -6*x cada uno; su suma da -12*x. La constante se eleva al cuadrado.
Respuesta: x^2+x-12: el término lineal permanece. — Los cruzados suman -3*x+4*x=x.
Los cruzados son -3*x y +4*x, que dejan x; las constantes no son opuestas.
Transforma y asociaTransforma y asocia
En cada expresión reemplaza x por y-2 con paréntesis, desarrolla y reduce; asocia la forma final. Si el denominador contiene x, excluye los valores que lo anulen y traslada esa condición a y.
Reduce primero los términos añadidos y luego la expresión completa; cada destino tiene una sola pareja.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: (x+4)^2 → y^2 + 4*y + 4; (x-6)^2 → y^2 - 16*y + 64; (2*x+3)^2 → 4*y^2 - 4*y + 1
Al sustituir x por y - 2 en (x+4)^2, se obtiene y^2 + 4*y + 4. Al sustituir x por y - 2 en (x-6)^2, se obtiene y^2 - 16*y + 64. Al sustituir x por y - 2 en (2*x+3)^2, se obtiene 4*y^2 - 4*y + 1.
Respuesta: (x+7)*(x-7) + (2*x) - (1*x) → x^2 + x - 49; (3*x-4)*(3*x+4) + (4*x) - (3*x) → 9*x^2 + x - 16; (5*x-3)*(5*x+3) + (6*x) - (5*x) → 25*x^2 + x - 9
Al desarrollar y reducir (x+7)*(x-7) + (2*x) - (1*x), se obtiene x^2 + x - 49. Al desarrollar y reducir (3*x-4)*(3*x+4) + (4*x) - (3*x), se obtiene 9*x^2 + x - 16. Al desarrollar y reducir (5*x-3)*(5*x+3) + (6*x) - (5*x), se obtiene 25*x^2 + x - 9.
Repara el paso incorrectoRepara el paso incorrecto
Analiza P(x)=(3*(5*x+3)-2)^2 en su dominio original. Busca el primer paso que deja de ser válido y elige su reparación; los pasos posteriores pueden arrastrar ese error.
Analiza P(x)=((2*(2*x-1)-9)*(2*(2*x-1)+9)) - ((4*x+2)*(4*x-2)) en su dominio original. Busca el primer paso que deja de ser válido y elige su reparación; los pasos posteriores pueden arrastrar ese error.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: El coeficiente de x^1 en esa forma es -210. → Sustituir ese paso por: El coeficiente de x^1 en esa forma es 210.
La secuencia correcta es: Al desarrollar y reducir queda 225*x^2 + 210*x + 49. El coeficiente de x^1 en esa forma es 210. Al sustituir x=2 en la forma reducida se obtiene 1369. La primera discrepancia está en «El coeficiente de x^1 en esa forma es -210.». Se conserva el dominio de la expresión original; x=2 es admisible.
Respuesta: Al sustituir x=2 en la forma reducida se obtiene 105. → Sustituir ese paso por: Al sustituir x=2 en la forma reducida se obtiene -105.
La secuencia correcta es: Al desarrollar y reducir queda -16*x - 73. El coeficiente de x^0 en esa forma es -73. Al sustituir x=2 en la forma reducida se obtiene -105. La primera discrepancia está en «Al sustituir x=2 en la forma reducida se obtiene 105.». Se conserva el dominio de la expresión original; x=2 es admisible.
- Distingue un cuadrado de un producto de conjugados.
- Identifica los términos completos, incluidos sus coeficientes.
- Calcula cuadrados y doble producto, o cancela los cruzados.
Modelo, prueba y reparación
Usa este caso de transferencia: Un cuadrado mide x+3 metros de lado; se retiran 8 metros cuadrados de su superficie. Para x=5, calcula el área restante. Escribe el modelo, resuelve y verifica la unidad. Propón después una transformación errónea de ese modelo y demuestra por desarrollo o con un valor permitido dónde falla. Se aceptan redacciones equivalentes que cumplan los criterios.
Solución accesible sin interacción
- Definir cantidades y dominio y escribir el modelo completo.
- Resolver con operaciones y unidad conservadas.
- Aportar una transformación errónea y una prueba concreta que la refute.
Respuesta: A(x)=(x+3)^2-8=x^2+6*x+1. A(5)=25+30+1=56. El área restante es 56 m². Como propuesta errónea se puede sumar 10 a la expresión correcta: la diferencia es una constante no nula. Debe mostrarse esa diferencia y conservarse el dominio.
A(x)=(x+3)^2-8=x^2+6*x+1. A(5)=25+30+1=56. El área restante es 56 m². Como propuesta errónea se puede sumar 10 a la expresión correcta: la diferencia es una constante no nula. Debe mostrarse esa diferencia y conservarse el dominio.
Compruébalo ahora
Elige el desarrollo de (2*x+5)^2-3*x.
- 4*x^2+20*x+25
- 4*x^2+17*x+25
- 4*x^2+7*x+25
Ver solución explicada
Respuesta: 4*x^2+17*x+25
El doble producto es 20*x y después se retiran 3*x.
Elige el producto que representa 16*x^2-49 por conjugados.
- (4*x+7)*(4*x-7)
- (4*x+7)*(4*x-4)
- (16*x+7)*(x-7)
Ver solución explicada
Respuesta: (4*x+7)*(4*x-7)
Los términos comunes y opuestos cancelan los cruzados.
Un rectángulo tiene lados x+5 y x-5 metros; se suma una zona distinta de 9 m². Para x=8, elige el área total.
- 39 m² en total.
- 98 m² en total.
- 48 m² en total.
Ver solución explicada
Respuesta: 48 m² en total.
El producto es 64-25 y se añaden nueve: 48; ambas longitudes son positivas.
¿Qué prueba muestra que (a-b)^2 no equivale a a^2-b^2 para todos los reales?
- a=0, b=2: 4 frente a 0.
- a=5, b=2: 9 frente a 21.
- a=5, b=0: 25 frente a 50.
Ver solución explicada
Respuesta: a=5, b=2: 9 frente a 21.
(a-b)^2=a^2-2*a*b+b^2. Para a=5 y b=2, los valores son 9 y 21. Para a=0 y b=2, a^2-b^2=-4, no 0; para a=5 y b=0, ambos miembros valen 25, no 50.
Alineación curricular y fuentes
- Propósito 4 de Pensamiento Matemático II, páginas impresas 16–17; selección editorial parcial. · Marco Curricular Común de la Educación Media Superior. Modelo Educativo 2025. Pensamiento Matemático
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