2.º semestre · Pensamiento Matemático II · MCCEMS 2025Ruta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Factor común y comprobación por desarrollo: interpretar cantidades y condiciones.
- Factor común y comprobación por desarrollo: transformar expresiones conservando operaciones.
- Factor común y comprobación por desarrollo: detectar un error y justificar una reparación.
Antes de empezar
- Operaciones con números reales, signos, fracciones y potencias del primer semestre.
Comprender antes de operar
Factorizar es escribir una suma como producto conservando su valor. Un factor común debe dividir todos los términos, no solo el primero. En 18*x^3+12*x^2, el coeficiente común máximo positivo es seis y la menor potencia compartida es x^2; queda 6*x^2*(3*x+2).
El factor común no se extrae adivinando una raíz. Se divide cada término por el factor escogido y se escribe el cociente dentro del paréntesis. Elegir un factor menor también puede dar una factorización válida, pero si se pide el máximo monomial positivo hay que comprobar el máximo divisor común de coeficientes y las potencias mínimas.
La distribución es la comprobación inversa: multiplicar el factor exterior por cada término interior debe reconstruir la suma inicial. Evaluar con un único número no acredita una factorización; distintas expresiones pueden coincidir en ese punto. La respuesta debe mostrar los factores y la verificación algebraica.
- Factor común
- Factor común: monomio que divide cada término de la suma considerada.
Un procedimiento comprobable
- Calcula un divisor común de los coeficientes.
- Elige la menor potencia presente en todos los términos.
- Divide cada término y conserva sus signos.
- Distribuye el producto obtenido para comprobarlo.
Distingue dos casos
- Factor máximo
8*x^2+12*x=4*x*(2*x+3).
- Factor menor válido
8*x^2+12*x=2*x*(4*x+6), sin extracción máxima.
Reparar sin perder datos
Se extrae 5*x de 10*x^2-15*x y queda 5*x*(2*x-15).
Debe quedar 5*x*(2*x-3).
Ambos términos se dividen por el factor exterior.
Elige y justificaElige y justifica
Se quiere extraer el máximo factor monomial positivo de 12*x^3-18*x^2. ¿Qué igualdad lo verifica?
Se propone extraer 4*x de 12*x^3+8*x^2. ¿Qué cocientes interiores reconstruyen ambos términos?
Solución accesible sin interacción
Respuesta: 6*x^2*(2*x-3) — Se toma 6 como MCD y x^2 como potencia común.
Doce y dieciocho comparten seis; la menor potencia es x^2. La distribución reproduce cada término inicial.
Respuesta: 3*x^2 y 2*x; al distribuir se recupera la suma. — Dividir los dos términos entre 4*x deja 3*x^2 y 2*x; al distribuir se recuperan 12*x^3 y 8*x^2.
Se divide cada término entre 4*x; 3*x^2 y 2*x devuelven los términos originales al multiplicarse por el factor exterior.
Transforma y asociaTransforma y asocia
Reemplaza x por y-2, extrae un factor común o el cuadrado perfecto y comprueba por desarrollo la factorización de cada destino.
Resuelve las tres evaluaciones de cada caso y conserva los signos de su combinación; asocia el resultado conjunto.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: 6*x^3+9*x^2 → 3*(y - 2)^2*(2*y - 1); 10*x^3-15*x^2 → 5*(y - 2)^2*(2*y - 7); 12*x^4+8*x^2 → 4*(y - 2)^2*(3*y^2 - 12*y + 14)
Al sustituir x por y - 2 en 6*x^3+9*x^2, se obtiene 6*y^3 - 27*y^2 + 36*y - 12. Al sustituir x por y - 2 en 10*x^3-15*x^2, se obtiene 10*y^3 - 75*y^2 + 180*y - 140. Al sustituir x por y - 2 en 12*x^4+8*x^2, se obtiene 12*y^4 - 96*y^3 + 296*y^2 - 416*y + 224.
Respuesta: 6*x^3 + 9*x^2 + 2*x; suma sus valores en x=-2 y x=5 y resta su valor en x=1 → Resultado conjunto 952; 12*x^4 + 8*x^2 + 4*x; suma sus valores en x=-2 y x=5 y resta su valor en x=1 → Resultado conjunto 7912; 18*x^4 + 12*x^3 + 6*x; suma sus valores en x=-2 y x=5 y resta su valor en x=1 → Resultado conjunto 12924
Para 6*x^3 + 9*x^2 + 2*x, los valores en x=-2, x=5 y x=1 son -16, 985 y 17; la combinación indicada da 952. Para 12*x^4 + 8*x^2 + 4*x, los valores en x=-2, x=5 y x=1 son 216, 7720 y 24; la combinación indicada da 7912. Para 18*x^4 + 12*x^3 + 6*x, los valores en x=-2, x=5 y x=1 son 180, 12780 y 36; la combinación indicada da 12924.
Repara el paso incorrectoRepara el paso incorrecto
Analiza P(x)=14*(5*x+3)^3-21*(5*x+3) en su dominio original. Busca el primer paso que deja de ser válido y elige su reparación; los pasos posteriores pueden arrastrar ese error.
Analiza P(x)=(16*(2*x-1)^3-24*(2*x-1)^2) - (14*x^3-21*x) en su dominio original. Busca el primer paso que deja de ser válido y elige su reparación; los pasos posteriores pueden arrastrar ese error.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: El coeficiente de x^1 en esa forma es -1785. → Sustituir ese paso por: El coeficiente de x^1 en esa forma es 1785.
La secuencia correcta es: Al desarrollar y reducir queda 1750*x^3 + 3150*x^2 + 1785*x + 315. El coeficiente de x^1 en esa forma es 1785. Al sustituir x=2 en la forma reducida se obtiene 30485. La primera discrepancia está en «El coeficiente de x^1 en esa forma es -1785.». Se conserva el dominio de la expresión original; x=2 es admisible.
Respuesta: Al sustituir x=2 en la forma reducida se obtiene -146. → Sustituir ese paso por: Al sustituir x=2 en la forma reducida se obtiene 146.
La secuencia correcta es: Al desarrollar y reducir queda 114*x^3 - 288*x^2 + 213*x - 40. El coeficiente de x^0 en esa forma es -40. Al sustituir x=2 en la forma reducida se obtiene 146. La primera discrepancia está en «Al sustituir x=2 en la forma reducida se obtiene -146.». Se conserva el dominio de la expresión original; x=2 es admisible.
- Calcula un divisor común de los coeficientes.
- Elige la menor potencia presente en todos los términos.
- Divide cada término y conserva sus signos.
Modelo, prueba y reparación
Usa este caso de transferencia: El costo 8*x^2+12*x pesos se organiza en x paquetes idénticos, con x entero positivo. Se cobra un envío adicional de 5 pesos por paquete. Para x=3, halla el costo por paquete. Escribe el modelo, resuelve y verifica la unidad. Propón después una transformación errónea de ese modelo y demuestra por desarrollo o con un valor permitido dónde falla. Se aceptan redacciones equivalentes que cumplan los criterios.
Solución accesible sin interacción
- Definir cantidades y dominio y escribir el modelo completo.
- Resolver con operaciones y unidad conservadas.
- Aportar una transformación errónea y una prueba concreta que la refute.
Respuesta: Extraer x deja 4*(2*x+3)=8*x+12 por paquete. Añadir envío: 8*3+12+5=41. El precio por paquete es 41 pesos. Como propuesta errónea se puede sumar 7 a la expresión correcta: la diferencia es una constante no nula. Debe mostrarse esa diferencia y conservarse el dominio.
Extraer x deja 4*(2*x+3)=8*x+12 por paquete. Añadir envío: 8*3+12+5=41. El precio por paquete es 41 pesos. Como propuesta errónea se puede sumar 7 a la expresión correcta: la diferencia es una constante no nula. Debe mostrarse esa diferencia y conservarse el dominio.
Compruébalo ahora
Elige la extracción máxima positiva que reconstruye 14*x^3-21*x^2.
- 7*x^3*(2-3*x)
- 7*x^2*(2*x-3)
- 7*x^2*(2*x-21)
Ver solución explicada
Respuesta: 7*x^2*(2*x-3)
Siete y x^2 son comunes; distribuir devuelve ambos términos.
Se propone 6*x^2*(2*x+4) para un costo de 12*x^3+18*x^2 pesos. Conserva el factor exterior, repara el término interior y evalúa el modelo original para x=2; después retira una rebaja única de 6 pesos. Elige la reparación y el total final.
- Cambiar el 4 interior por 3; el total tras retirar 6 es 162.
- Cambiar el 4 interior por 4; el total tras retirar 6 es 186.
- Cambiar el 4 interior por 3; el total tras retirar 6 es 168.
Ver solución explicada
Respuesta: Cambiar el 4 interior por 3; el total tras retirar 6 es 162.
El cociente 18*x^2/(6*x^2)=3 repara el término interior; 6*x^2*2*x=12*x^3 comprueba el otro término. En x=2, el costo es 96+72=168; la rebaja única deja 162 pesos.
¿Qué argumento decide si 3*x^2 puede extraerse de 9*x^3+6*x?
- El primer cociente sería 3*x; basta para extraerlo.
- Ambos coeficientes son divisibles entre tres; basta eso.
- Dejaría 2/x: no es un factor común polinomial.
Ver solución explicada
Respuesta: Dejaría 2/x: no es un factor común polinomial.
La menor potencia compartida es x; mirar coeficientes sin exponentes resulta insuficiente.
Un costo 6*n^2+9*n se reparte entre n paquetes, con n entero positivo, y se añade 4 pesos por paquete. Elige la expresión del costo individual.
- 3*(2*n+3+4)
- 3*(2*n+3)+4
- 3*n*(2*n+3)+4
Ver solución explicada
Respuesta: 3*(2*n+3)+4
Extraer y cancelar n deja 6*n+9; el cargo fijo se añade sin multiplicarlo por tres.
Alineación curricular y fuentes
- Propósito 3 de Pensamiento Matemático II, páginas impresas 16–17; selección editorial parcial. · Marco Curricular Común de la Educación Media Superior. Modelo Educativo 2025. Pensamiento Matemático
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Practicar esto: Extraer y comprobar un factor comúnSumar y retirar grupos completos