2.º semestre · Pensamiento Matemático II · MCCEMS 2025Ruta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Sumar y retirar grupos completos: interpretar cantidades y condiciones.
- Sumar y retirar grupos completos: transformar expresiones conservando operaciones.
- Sumar y retirar grupos completos: detectar un error y justificar una reparación.
Antes de empezar
- Operaciones con números reales, signos, fracciones y potencias del primer semestre.
Comprender antes de operar
Una suma de polinomios reúne términos semejantes de cantidades que se declararon distintas. Si A representa un lote y B otro, A+B puede modelar el costo conjunto. Antes de sumar conviene confirmar que los datos no describen el mismo lote contado dos veces. El contexto determina qué cantidades se combinan; la reducción determina cómo escribir la combinación.
Restar un grupo significa sumar su opuesto completo. En (4*x^2+3*x)-(x^2-2*x+5), el segundo grupo aporta -x^2+2*x-5. Así quedan 3*x^2+5*x-5. El signo delante del paréntesis no afecta solo al primer término; afecta a todo lo que se está retirando.
La interpretación sirve para comprobar el sentido del resultado. Un saldo negativo puede representar un faltante si el modelo lo permite; no se elimina su signo para que parezca un gasto positivo. Un área disponible debe respetar las medidas permitidas por el caso. Después de reducir, sustituir un dato ayuda a verificar los signos sin sustituir la justificación de la resta.
- Opuesto de un polinomio
- Opuesto de un polinomio: expresión que cambia el signo de cada uno de sus términos.
Un procedimiento comprobable
- Define qué total se reúne o qué grupo se retira.
- Escribe ambos grupos con sus signos externos.
- Distribuye el signo de resta sobre el grupo completo.
- Reúne términos semejantes y comprueba unidades.
Distingue dos casos
- Sumar
A+B conserva los signos internos de ambos grupos.
- Restar
A-B añade el opuesto completo de B.
Reparar sin perder datos
(5*x^2+x)-(2*x^2-3*x+4)=3*x^2-2*x+4.
La diferencia es 3*x^2+4*x-4.
La resta cambia tanto -3*x como +4.
Elige y justificaElige y justifica
Dos piezas diferentes cuestan x^2+4*x+3 y 2*x^2-6*x+5. ¿Qué expresión suma ambos costos?
Se resta B=-3*x+4 de A=x^2+2*x. ¿Qué operación conserva el cambio de signo de B?
Solución accesible sin interacción
Respuesta: 3*x^2-2*x+8 — Sumo coeficientes con signo por grado: 3*x²−2*x+8.
Los coeficientes del cuadrado, de x y de la constante se suman por separado; cuatro menos seis deja -dos.
Respuesta: x^2+2*x+3*x-4 — Restar B cambia ambos signos: −(−3*x+4)=3*x−4.
Restar B significa sumar su opuesto completo, incluidos ambos términos.
Transforma y asociaTransforma y asocia
En cada expresión reemplaza x por y-2 con paréntesis, desarrolla y reduce; asocia la forma final. Si el denominador contiene x, excluye los valores que lo anulen y traslada esa condición a y.
Reduce primero los términos añadidos y luego la expresión completa; cada destino tiene una sola pareja.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: (2*x^2+3*x-5)+(4*x^2-7*x+9) → 6*y^2 - 28*y + 36; (3*x^3-2*x+6)+(x^3+5*x-8) → 4*y^3 - 24*y^2 + 51*y - 40; (5*x^2-6)+(2*x^2+4*x+1) → 7*y^2 - 24*y + 15
Al sustituir x por y - 2 en (2*x^2+3*x-5)+(4*x^2-7*x+9), se obtiene 6*y^2 - 28*y + 36. Al sustituir x por y - 2 en (3*x^3-2*x+6)+(x^3+5*x-8), se obtiene 4*y^3 - 24*y^2 + 51*y - 40. Al sustituir x por y - 2 en (5*x^2-6)+(2*x^2+4*x+1), se obtiene 7*y^2 - 24*y + 15.
Respuesta: (7*x^2+2*x-5)-(3*x^2-4*x+6) + (2*x) - (1*x) → 4*x^2 + 7*x - 11; (9*x^2-5*x)-(4*x^2+2*x-7) + (4*x) - (3*x) → 5*x^2 - 6*x + 7; (8*x^2+x+3)-(2*x^2-6*x+5) + (6*x) - (5*x) → 6*x^2 + 8*x - 2
Al desarrollar y reducir (7*x^2+2*x-5)-(3*x^2-4*x+6) + (2*x) - (1*x), se obtiene 4*x^2 + 7*x - 11. Al desarrollar y reducir (9*x^2-5*x)-(4*x^2+2*x-7) + (4*x) - (3*x), se obtiene 5*x^2 - 6*x + 7. Al desarrollar y reducir (8*x^2+x+3)-(2*x^2-6*x+5) + (6*x) - (5*x), se obtiene 6*x^2 + 8*x - 2.
Repara el paso incorrectoRepara el paso incorrecto
Analiza P(x)=((5*x+3)^3+2*(5*x+3)^2)+(4*(5*x+3)^3-5*(5*x+3)^2+7) en su dominio original. Busca el primer paso que deja de ser válido y elige su reparación; los pasos posteriores pueden arrastrar ese error.
Analiza P(x)=((4*(2*x-1)^3-7*(2*x-1)+2)-(3*(2*x-1)^3-2*(2*x-1)-8)) - ((6*x^3+2*x^2)-(x^3-3*x^2+9)) en su dominio original. Busca el primer paso que deja de ser válido y elige su reparación; los pasos posteriores pueden arrastrar ese error.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Al desarrollar y reducir queda 625*x^3 + 1050*x^2 - 585*x + 115. → Sustituir ese paso por: Al desarrollar y reducir queda 625*x^3 + 1050*x^2 + 585*x + 115.
La secuencia correcta es: Al desarrollar y reducir queda 625*x^3 + 1050*x^2 + 585*x + 115. El coeficiente de x^1 en esa forma es 585. Al sustituir x=2 en la forma reducida se obtiene 10485. La primera discrepancia está en «Al desarrollar y reducir queda 625*x^3 + 1050*x^2 - 585*x + 115.». Se conserva el dominio de la expresión original; x=2 es admisible.
Respuesta: El coeficiente de x^0 en esa forma es -23. → Sustituir ese paso por: El coeficiente de x^0 en esa forma es 23.
La secuencia correcta es: Al desarrollar y reducir queda 3*x^3 - 17*x^2 - 4*x + 23. El coeficiente de x^0 en esa forma es 23. Al sustituir x=2 en la forma reducida se obtiene -29. La primera discrepancia está en «El coeficiente de x^0 en esa forma es -23.». Se conserva el dominio de la expresión original; x=2 es admisible.
- Define qué total se reúne o qué grupo se retira.
- Escribe ambos grupos con sus signos externos.
- Distribuye el signo de resta sobre el grupo completo.
Modelo, prueba y reparación
Usa este caso de transferencia: Un pedido ficticio contiene un lote A de 2*x^2+3*x y otro B de x^2-2*x+7 pesos; son lotes distintos. Se añaden 4 pesos de envío. Para x=5, calcula el total. Escribe el modelo, resuelve y verifica la unidad. Propón después una transformación errónea de ese modelo y demuestra por desarrollo o con un valor permitido dónde falla. Se aceptan redacciones equivalentes que cumplan los criterios.
Solución accesible sin interacción
- Definir cantidades y dominio y escribir el modelo completo.
- Resolver con operaciones y unidad conservadas.
- Aportar una transformación errónea y una prueba concreta que la refute.
Respuesta: T(x)=3*x^2+x+11 al sumar los dos lotes y el envío. T(5)=75+5+11=91. El pago total es 91 pesos. Como propuesta errónea se puede sumar 8 a la expresión correcta: la diferencia es una constante no nula. Debe mostrarse esa diferencia y conservarse el dominio.
T(x)=3*x^2+x+11 al sumar los dos lotes y el envío. T(5)=75+5+11=91. El pago total es 91 pesos. Como propuesta errónea se puede sumar 8 a la expresión correcta: la diferencia es una constante no nula. Debe mostrarse esa diferencia y conservarse el dominio.
Compruébalo ahora
Dos lotes distintos cuestan 3*x^2+4*x+1 y x^2-2*x+6. Elige el costo conjunto.
- 4*x^2+2*x+7
- 4*x^2+6*x+7
- 4*x^3+2*x+7
Ver solución explicada
Respuesta: 4*x^2+2*x+7
Se reúnen por grado: cuatro cuadrados, dos lineales y siete constantes.
Retira 2*x^2-5*x+3 de 6*x^2+x-1. Elige la diferencia.
- 4*x^2-4*x+2
- 4*x^2+6*x+2
- 4*x^2+6*x-4
Ver solución explicada
Respuesta: 4*x^2+6*x-4
Se resta cada término del segundo grupo, cambiando todos sus signos.
El saldo disponible es 3*n^2+2*n-(n^2-n+4) pesos. Para n=2, elige el resultado firmado.
- 18 pesos disponibles.
- 10 pesos disponibles.
- 6 pesos disponibles.
Ver solución explicada
Respuesta: 10 pesos disponibles.
Queda 2*n^2+3*n-4: ocho más seis menos cuatro.
Dos informes describen el mismo lote A de 120 pesos; además se compra un lote B distinto de 2*x^2+10 pesos. Elige el costo total sin contar dos veces A.
- 2*x^2+130 pesos en total.
- 2*x^2+250 pesos en total.
- 110-2*x^2 pesos en total.
Ver solución explicada
Respuesta: 2*x^2+130 pesos en total.
A se cuenta una sola vez y se suma B: 120+2*x^2+10=2*x^2+130.
Alineación curricular y fuentes
- Propósito 4 de Pensamiento Matemático II, páginas impresas 16–17; selección editorial parcial. · Marco Curricular Común de la Educación Media Superior. Modelo Educativo 2025. Pensamiento Matemático
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