2.º semestre · Pensamiento Matemático II · MCCEMS 2025Ruta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Reconstruir un cuadrado perfecto: interpretar cantidades y condiciones.
- Reconstruir un cuadrado perfecto: transformar expresiones conservando operaciones.
- Reconstruir un cuadrado perfecto: detectar un error y justificar una reparación.
Antes de empezar
- Operaciones con números reales, signos, fracciones y potencias del primer semestre.
Comprender antes de operar
Para reconocer un trinomio cuadrado perfecto se examinan sus tres términos. En 4*x^2+20*x+25, los extremos son los cuadrados de 2*x y 5. El término central coincide con dos veces su producto: 20*x. Por tanto la forma factorizada es (2*x+5)^2.
Si el término central tiene signo negativo, puede tratarse del cuadrado de una diferencia. Los extremos siguen siendo cuadrados positivos: 9*x^2-24*x+16=(3*x-4)^2. No basta comprobar solo el primer y el último término; 9*x^2-20*x+16 no coincide con ese doble producto.
Factorizar permite conservar una expresión compacta y mostrar su estructura. Una prueba numérica puede advertir un error, pero no sustituye la respuesta factorizada y su expansión. Cuando se interpreta como área de un cuadrado, la raíz del área es una longitud no negativa; hay que elegir el signo y el dominio del lado según el contexto.
- Trinomio cuadrado perfecto
- Trinomio cuadrado perfecto: desarrollo de un cuadrado de binomio con su doble producto central.
Un procedimiento comprobable
- Obtén las raíces algebraicas de los términos extremos.
- Calcula dos veces su producto.
- Compara valor y signo con el término central.
- Escribe el cuadrado y compruébalo por desarrollo.
Distingue dos casos
- Cumple
x^2-14*x+49=(x-7)^2.
- No cumple
x^2-12*x+49 no tiene el doble producto esperado.
Reparar sin perder datos
Se factoriza 16*x^2+24*x+9 como (4*x+9)^2.
Su factorización es (4*x+3)^2.
La raíz de nueve es tres, y el doble producto da veinticuatro x.
Elige y justificaElige y justifica
¿Qué condición demuestra que 9*x^2-30*x+25 es (3*x-5)^2?
¿Cuál trinomio tiene extremos cuadrados pero no es el cuadrado de binomio que sugieren esos extremos?
Solución accesible sin interacción
Respuesta: El término central es -2*(3*x)*5. — El doble producto de 3*x y −5 es −30*x.
Los extremos son cuadrados y el centro coincide con el doble producto de raíces con signo negativo; comprobar solo los extremos no basta.
Respuesta: 4*x^2+10*x+9 — Con raíces 2*x y 3, el doble producto sería 12*x; el centro indicado es 10*x.
Las raíces 2*x y 3 exigen un término central de más o menos 12*x, no de 10*x.
Transforma y asociaTransforma y asocia
Reemplaza x por y-2, extrae un factor común o el cuadrado perfecto y comprueba por desarrollo la factorización de cada destino.
Reduce primero los términos añadidos y luego la expresión completa; cada destino tiene una sola pareja.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: x^2+10*x+25 → (y + 3)^2; 4*x^2-12*x+9 → (2*y - 7)^2; 9*x^2+24*x+16 → (3*y - 2)^2
Al sustituir x por y - 2 en x^2+10*x+25, se obtiene y^2 + 6*y + 9. Al sustituir x por y - 2 en 4*x^2-12*x+9, se obtiene 4*y^2 - 28*y + 49. Al sustituir x por y - 2 en 9*x^2+24*x+16, se obtiene 9*y^2 - 12*y + 4.
Respuesta: x^2+10*x+25 + (2*x) - (1*x) → x^2 + 11*x + 25; 9*x^2+24*x+16 + (4*x) - (3*x) → 9*x^2 + 25*x + 16; 25*x^2+10*x+1 + (6*x) - (5*x) → 25*x^2 + 11*x + 1
Al desarrollar y reducir x^2+10*x+25 + (2*x) - (1*x), se obtiene x^2 + 11*x + 25. Al desarrollar y reducir 9*x^2+24*x+16 + (4*x) - (3*x), se obtiene 9*x^2 + 25*x + 16. Al desarrollar y reducir 25*x^2+10*x+1 + (6*x) - (5*x), se obtiene 25*x^2 + 11*x + 1.
Repara el paso incorrectoRepara el paso incorrecto
Analiza P(x)=16*(5*x+3)^2-40*(5*x+3)+25 en su dominio original. Busca el primer paso que deja de ser válido y elige su reparación; los pasos posteriores pueden arrastrar ese error.
Analiza P(x)=(4*(2*x-1)^2+28*(2*x-1)+49) - (16*x^2-40*x+25) en su dominio original. Busca el primer paso que deja de ser válido y elige su reparación; los pasos posteriores pueden arrastrar ese error.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Al desarrollar y reducir queda 400*x^2 - 280*x + 49. → Sustituir ese paso por: Al desarrollar y reducir queda 400*x^2 + 280*x + 49.
La secuencia correcta es: Al desarrollar y reducir queda 400*x^2 + 280*x + 49. El coeficiente de x^1 en esa forma es 280. Al sustituir x=2 en la forma reducida se obtiene 2209. La primera discrepancia está en «Al desarrollar y reducir queda 400*x^2 - 280*x + 49.». Se conserva el dominio de la expresión original; x=2 es admisible.
Respuesta: El coeficiente de x^0 en esa forma es 1. → Sustituir ese paso por: El coeficiente de x^0 en esa forma es 0.
La secuencia correcta es: Al desarrollar y reducir queda 80*x. El coeficiente de x^0 en esa forma es 0. Al sustituir x=2 en la forma reducida se obtiene 160. La primera discrepancia está en «El coeficiente de x^0 en esa forma es 1.». Se conserva el dominio de la expresión original; x=2 es admisible.
- Obtén las raíces algebraicas de los términos extremos.
- Calcula dos veces su producto.
- Compara valor y signo con el término central.
Modelo, prueba y reparación
Usa este caso de transferencia: Un área se escribe x^2+12*x+36 metros cuadrados, con x no negativo. Se cubre toda con material y se añaden 3 metros cuadrados por un recorte distinto. Para x=2, calcula cuánto material se necesita. Escribe el modelo, resuelve y verifica la unidad. Propón después una transformación errónea de ese modelo y demuestra por desarrollo o con un valor permitido dónde falla. Se aceptan redacciones equivalentes que cumplan los criterios.
Solución accesible sin interacción
- Definir cantidades y dominio y escribir el modelo completo.
- Resolver con operaciones y unidad conservadas.
- Aportar una transformación errónea y una prueba concreta que la refute.
Respuesta: A(x)=(x+6)^2+3. A(2)=64+3=67. Se requieren 67 m² de material. Como propuesta errónea se puede sumar 11 a la expresión correcta: la diferencia es una constante no nula. Debe mostrarse esa diferencia y conservarse el dominio.
A(x)=(x+6)^2+3. A(2)=64+3=67. Se requieren 67 m² de material. Como propuesta errónea se puede sumar 11 a la expresión correcta: la diferencia es una constante no nula. Debe mostrarse esa diferencia y conservarse el dominio.
Compruébalo ahora
Elige la factorización que reconstruye 25*x^2-30*x+9.
- (5*x-3)^2
- (5*x-9)^2
- (25*x-3)^2
Ver solución explicada
Respuesta: (5*x-3)^2
Los extremos son cuadrados y el doble producto negativo es -30*x.
Se conservan los extremos 4*x^2 y 49. ¿Qué término central haría un cuadrado de suma?
- 14*x, por un producto simple.
- 53*x, por sumar los extremos.
- 28*x, por el doble producto.
Ver solución explicada
Respuesta: 28*x, por el doble producto.
Las raíces son 2*x y 7; su doble producto es 28*x.
Un panel cuadrado tiene área x^2+18*x+81 m², con x no negativo. ¿Qué lado y condición lo describen?
- x-9 metros, positivo en ese dominio.
- x+9 metros, positivo en ese dominio.
- x+81 metros, positivo en ese dominio.
Ver solución explicada
Respuesta: x+9 metros, positivo en ese dominio.
El área es (x+9)^2; el lado x+9 es positivo cuando x no es negativo.
Se propone (3*x+2)^2 para 9*x^2+10*x+4. ¿Qué discrepancia se calcula correctamente?
- Centro esperado 12*x, frente a 10*x.
- Extremo esperado 6*x^2, frente a 9*x^2.
- Constante esperada 2, frente a 4.
Ver solución explicada
Respuesta: Centro esperado 12*x, frente a 10*x.
El doble producto es 2*(3*x)*2=12*x. Los extremos esperados sí son 9*x^2 y 4; las otras discrepancias no están bien calculadas.
Alineación curricular y fuentes
- Propósito 4 de Pensamiento Matemático II, páginas impresas 16–17; selección editorial parcial. · Marco Curricular Común de la Educación Media Superior. Modelo Educativo 2025. Pensamiento Matemático
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