2.º semestre · Pensamiento Matemático II · MCCEMS 2025Ruta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Productos y cocientes con sus condiciones: interpretar cantidades y condiciones.
- Productos y cocientes con sus condiciones: transformar expresiones conservando operaciones.
- Productos y cocientes con sus condiciones: detectar un error y justificar una reparación.
Antes de empezar
- Operaciones con números reales, signos, fracciones y potencias del primer semestre.
Comprender antes de operar
Al multiplicar monomios se multiplican coeficientes y se suman exponentes de igual base. Así, (-2*x^2)*(5*x^3)=-10*x^5. El signo negativo resulta del producto de un coeficiente negativo por otro positivo, no del exponente. Una potencia de potencia usa otra regla: sus exponentes se multiplican.
La división actúa término a término cuando se divide un polinomio entre un monomio. Para x distinto de cero, (12*x^3+8*x^2)/(4*x)=3*x^2+2*x. Dividir solo el primer término modifica el numerador completo. También importa que los cocientes tengan exponentes no negativos si se quiere obtener un polinomio.
Cancelar una variable no autoriza a usar un dato excluido por el denominador original. Un cociente puede compartir una fórmula reducida con un polinomio y aun así tener un dominio más pequeño. En un reparto de costos, una cantidad de personas debe ser un entero positivo; el contexto puede imponer más restricciones que la mera no anulación del denominador.
- Monomio
- Monomio: producto de un coeficiente y variables con exponentes enteros no negativos.
Un procedimiento comprobable
- Separa los coeficientes de las partes literales.
- Aplica la regla del producto o del cociente, según corresponda.
- En una suma del numerador, divide cada término.
- Conserva las restricciones del denominador y del contexto.
Distingue dos casos
- Producto
3*x^2*2*x=6*x^3.
- Cociente
6*x^3/(2*x)=3*x^2, con x distinto de cero.
Reparar sin perder datos
(10*x^3+5*x^2)/(5*x)=2*x^2+5*x^2.
Queda 2*x^2+x, con x distinto de cero.
El segundo término también se divide por todo el monomio.
Elige y justificaElige y justifica
El área de un rectángulo tiene lados 3*x^2 y 2*x, con x positivo. Se retira un área x^3. ¿Qué modelo queda?
Tras reducir (x^2-4)/x, alguien sustituye cero. ¿Qué ocurre?
Solución accesible sin interacción
Respuesta: 5*x^3 — Al multiplicar los lados, se obtiene 6*x^3; retirar x^3 deja 5*x^3, con x positivo.
El producto inicial es 6*x^3 y el recorte del mismo grado deja 5*x^3. Los exponentes se suman en el producto.
Respuesta: El cociente original continúa sin estar definido. — Cero sigue anulando el denominador de x-4/x.
El denominador es cero; además no puede cancelarse x a través de una suma donde no divide todos los términos.
Transforma y asociaTransforma y asocia
En cada expresión reemplaza x por y-2 con paréntesis, desarrolla y reduce; asocia la forma final. Si el denominador contiene x, excluye los valores que lo anulen y traslada esa condición a y.
Reduce primero los términos añadidos y luego la expresión completa; cada destino tiene una sola pareja.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: (-3*x^2)*(2*x)-4*x^3 → -10*y^3 + 60*y^2 - 120*y + 80; (5*x)*(3*x^2)+2*x^3 → 17*y^3 - 102*y^2 + 204*y - 136; (-2*x^3)*(-4*x)-3*x^4 → 5*y^4 - 40*y^3 + 120*y^2 - 160*y + 80
Al sustituir x por y - 2 en (-3*x^2)*(2*x)-4*x^3, se obtiene -10*y^3 + 60*y^2 - 120*y + 80. Al sustituir x por y - 2 en (5*x)*(3*x^2)+2*x^3, se obtiene 17*y^3 - 102*y^2 + 204*y - 136. Al sustituir x por y - 2 en (-2*x^3)*(-4*x)-3*x^4, se obtiene 5*y^4 - 40*y^3 + 120*y^2 - 160*y + 80.
Respuesta: (12*x^3+6*x^2)/(3*x)-x + (2*x) - (1*x) → 4*x^2 + 2*x; (8*x^3+12*x^2)/(4*x)-x^2 + (4*x) - (3*x) → x^2 + 4*x; (20*x^3-15*x^2)/(5*x)+x + (6*x) - (5*x) → 4*x^2 - x
Al desarrollar y reducir (12*x^3+6*x^2)/(3*x)-x + (2*x) - (1*x), se obtiene 4*x^2 + 2*x. Al desarrollar y reducir (8*x^3+12*x^2)/(4*x)-x^2 + (4*x) - (3*x), se obtiene x^2 + 4*x. Al desarrollar y reducir (20*x^3-15*x^2)/(5*x)+x + (6*x) - (5*x), se obtiene 4*x^2 - x. Se conserva el dominio de cada cociente original; cancelar una variable no incorpora los datos que anulaban su denominador.
Repara el paso incorrectoRepara el paso incorrecto
Analiza P(x)=(3*(5*x+3)^2)*(2*(5*x+3)^2)-2*(5*x+3)^4 en su dominio original. Busca el primer paso que deja de ser válido y elige su reparación; los pasos posteriores pueden arrastrar ese error.
Analiza P(x)=((14*(2*x-1)^4+21*(2*x-1)^3)/(7*(2*x-1)^2)-2*(2*x-1)) - ((18*x^4-6*x^2)/(6*x^2)+4) en su dominio original. Busca el primer paso que deja de ser válido y elige su reparación; los pasos posteriores pueden arrastrar ese error.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Al sustituir x=2 en la forma reducida se obtiene -114244. → Sustituir ese paso por: Al sustituir x=2 en la forma reducida se obtiene 114244.
La secuencia correcta es: Al desarrollar y reducir queda 2500*x^4 + 6000*x^3 + 5400*x^2 + 2160*x + 324. El coeficiente de x^1 en esa forma es 2160. Al sustituir x=2 en la forma reducida se obtiene 114244. La primera discrepancia está en «Al sustituir x=2 en la forma reducida se obtiene -114244.». Se conserva el dominio de la expresión original; x=2 es admisible.
Respuesta: Al desarrollar y reducir queda 5*x^2 - 6*x + 2. → Sustituir ese paso por: Al desarrollar y reducir queda 5*x^2 - 6*x - 2.
La secuencia correcta es: Al desarrollar y reducir queda 5*x^2 - 6*x - 2. El coeficiente de x^0 en esa forma es -2. Al sustituir x=2 en la forma reducida se obtiene 6. La primera discrepancia está en «Al desarrollar y reducir queda 5*x^2 - 6*x + 2.». Se conserva el dominio de la expresión original; x=2 es admisible.
- Separa los coeficientes de las partes literales.
- Aplica la regla del producto o del cociente, según corresponda.
- En una suma del numerador, divide cada término.
Modelo, prueba y reparación
Usa este caso de transferencia: Un panel rectangular mide 2*x por 3*x^2 metros; se retira x^3 metros cuadrados. Para x=2, halla el área restante. Escribe el modelo, resuelve y verifica la unidad. Propón después una transformación errónea de ese modelo y demuestra por desarrollo o con un valor permitido dónde falla. Se aceptan redacciones equivalentes que cumplan los criterios.
Solución accesible sin interacción
- Definir cantidades y dominio y escribir el modelo completo.
- Resolver con operaciones y unidad conservadas.
- Aportar una transformación errónea y una prueba concreta que la refute.
Respuesta: A(x)=6*x^3-x^3=5*x^3. A(2)=5*8=40. El área restante es 40 m². Como propuesta errónea se puede sumar 6 a la expresión correcta: la diferencia es una constante no nula. Debe mostrarse esa diferencia y conservarse el dominio.
A(x)=6*x^3-x^3=5*x^3. A(2)=5*8=40. El área restante es 40 m². Como propuesta errónea se puede sumar 6 a la expresión correcta: la diferencia es una constante no nula. Debe mostrarse esa diferencia y conservarse el dominio.
Compruébalo ahora
Desarrolla (-4*x^2)*(3*x)-2*x^3 y elige el resultado.
- -14*x^2
- -10*x^3
- -14*x^3
Ver solución explicada
Respuesta: -14*x^3
El producto es -12*x^3 y se retiran otras dos unidades del mismo monomio.
Un fondo de 15*x^3+10*x^2 pesos se reparte entre 5*x personas, con x entero positivo. Para x=3, elige la parte individual.
- 99 pesos por persona.
- 33 pesos por persona.
- 27 pesos por persona.
Ver solución explicada
Respuesta: 33 pesos por persona.
La división da 3*x^2+2*x: 27+6=33.
Reduce (7*x^2)/x y decide qué condición conserva el cociente original. Elige la pareja completa.
- 7*x, con x distinto de cero.
- 7*x, también al sustituir cero.
- 7*x^2, con x distinto de cero.
Ver solución explicada
Respuesta: 7*x, con x distinto de cero.
El cociente reduce el exponente en uno; cancelar x no admite el cero que anulaba el denominador.
¿Qué cociente produce un polinomio al dividir cada término, con x distinto de cero?
- (6*x^3+9)/(3*x)
- (6*x^3+9*x)/(3*x^2)
- (6*x^3+9*x^2)/(3*x)
Ver solución explicada
Respuesta: (6*x^3+9*x^2)/(3*x)
Deja 2*x^2+3*x; las otras expresiones conservan un término con variable en denominador.
Alineación curricular y fuentes
- Propósito 3 de Pensamiento Matemático II, páginas impresas 16–17; selección editorial parcial. · Marco Curricular Común de la Educación Media Superior. Modelo Educativo 2025. Pensamiento Matemático
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