El producto cambia el modelo de ingreso

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Qué vas a aprender

Comparar un modelo lineal y uno cuadrático cuando varían precio y cantidad.
Resolver una condición de ingreso y comprobar sus raíces en el dominio entero del caso.

Antes de empezar

Desarrollar productos de binomios.
Resolver ecuaciones cuadráticas por factorización o fórmula general y conservar raíces exactas.

Qué necesitamos entender

El ingreso se calcula como precio por cantidad vendida. Si ambos cambian con un ajuste n, debe multiplicarse el precio nuevo por la cantidad nueva. Aunque cada expresión sea lineal, su producto puede contener n². No basta sumar las dos variaciones al ingreso inicial ni mantener fija una magnitud que el caso cambia.

Las letras tienen unidades diferentes. Si p(n) está en pesos MXN por producto y q(n) cuenta productos vendidos, p(n)q(n) está en pesos de ingreso. Un ajuste n puede contar pasos completos de un plan y admitir únicamente enteros. Si también hay un límite de inventario o capacidad, debe conservarse al resolver la ecuación.

Un modelo puede describir un escenario previsto sin afirmar que las ventas reales sigan esa regla. Bajar un precio no determina cuántos productos se venderán. Si el caso propone expresamente una cantidad por ajuste, puedes calcular dentro de ese supuesto; si solo da el precio, falta información para predecir el ingreso.

Resolver R(n) = ingreso pedido produce candidatos. Sustituye cada raíz en el precio y la cantidad, revisa signos, inventario e integridad, y comprueba el producto original. Dos raíces pueden dar el mismo ingreso con combinaciones distintas. Una meta entre dos valores observados tampoco garantiza un ajuste entero que la alcance: no se deben redondear raíces sin verificar.

Dominio del escenario: Valores del ajuste que conservan las condiciones declaradas: pasos enteros, precios admisibles y capacidad disponible.

Cómo elegir la representación y comprobar

Expresa precio y cantidad por el mismo ajuste y registra sus unidades.
Multiplica las dos expresiones completas; compara el resultado con un modelo que deje fija una de ellas.
Plantea la condición de ingreso y conserva todas las raíces algebraicas.
Comprueba cada candidato en el producto original y en las restricciones del escenario.

Un caso resuelto

En un escenario de la cooperativa, el ajuste entero n baja $2 MXN al precio de $30 y aumenta en n las 12 unidades previstas para vender. Solo se admiten ajustes de 0 a 4. Se quiere conservar el ingreso inicial de $360. ¿Qué ajustes sirven dentro de ese escenario?

El precio es 30 − 2n pesos por unidad y la cantidad es 12 + n unidades.
R(n) = (30 − 2n)(12 + n) = 360 + 6n − 2n². El término −2n² procede del producto de ambas variaciones.
Conservar 360 exige 6n − 2n² = 0, o 2n(3 − n) = 0: n = 0 o n = 3.
Ambos ajustes están entre 0 y 4. Con n = 3, el precio es $24 y se prevén 15 unidades: 24 × 15 = 360.
El cálculo comprueba el escenario supuesto; no acredita que un cambio de precio produzca esas ventas en la realidad.

Los ajustes 0 y 3 conservan $360 MXN en el escenario indicado.

Registro del ejemplo

Ajuste n	Precio (MXN/unidad)	Unidades previstas	Ingreso (MXN)
0	30	12	360
3	24	15	360
4	22	16	352

Un error que podemos explicar

Convertir una raíz no entera en un ajuste entero por redondeo.

Sustituir cada ajuste completo en el producto original y comprobar la meta.

Redondear cambia precio y cantidad; no conserva necesariamente el ingreso pedido.

Multiplica precio nuevo por cantidad nueva, incluidas las dos variaciones.
Una raíz válida para la ecuación debe respetar además el escenario.

Comprueba con otro caso

Un escenario usa precio 25 − n pesos MXN y cantidad 16 + n productos para ajustes enteros de 0 a 3. Otra propuesta calcula el ingreso manteniendo 16 productos. Para n = 2, calcula los dos ingresos y decide qué diferencia se debe a los productos adicionales. Comprueba también por qué con n = 0 los dos modelos coinciden sin que eso los haga equivalentes. Da ingresos enteros en pesos.

Resultados y razonamiento del caso

Solución accesible sin interacción

Respuesta: Resultados y razonamiento del caso: Para n = 2, el producto completo da 23 × 18 = 414 pesos; la cantidad fija da 23 × 16 = 368. La diferencia 46 corresponde a dos productos adicionales de $23. Con n = 0 ambos dan 25 × 16 = 400, pero predicen valores distintos al cambiar n.

Modelo de respuesta: Para n = 2, el producto completo da 23 × 18 = 414 pesos; la cantidad fija da 23 × 16 = 368. La diferencia 46 corresponde a dos productos adicionales de $23. Con n = 0 ambos dan 25 × 16 = 400, pero predicen valores distintos al cambiar n.

Criterios para revisar tu respuesta:

Calcular ambos ingresos para el mismo ajuste.
Relacionar la diferencia con cantidad adicional y precio nuevo.
Separar coincidencia inicial de equivalencia entre modelos.

Para n = 2, el producto completo da 23 × 18 = 414 pesos; la cantidad fija da 23 × 16 = 368. La diferencia 46 corresponde a dos productos adicionales de $23. Con n = 0 ambos dan 25 × 16 = 400, pero predicen valores distintos al cambiar n.

El reto final es la práctica 4 de «Compruébalo ahora». Resuélvela con sus datos y condiciones, y consulta su solución después de completar tu razonamiento.

Solución accesible sin interacción

Construir el producto completo y resolver sus dos raíces exactas.
Comprobar el dominio entero y el límite superior, sin sustituirlos por un redondeo.
Verificar los ingresos vecinos y rechazar la certificación de $164.

Respuesta: La ecuación (18 − n)(8 + n) = 164 da n² − 10n + 20 = 0, con raíces 5 − raíz(5) y 5 + raíz(5). La menor queda entre 2 y 3, y la mayor supera 4; ninguna es un ajuste entero admitido. Con n = 2 se obtienen 16 × 10 = 160 pesos y con n = 3, 15 × 11 = 165. Redondear a 3 no alcanza 164; no hay ajuste admisible para esa meta.

La ecuación (18 − n)(8 + n) = 164 da n² − 10n + 20 = 0, con raíces 5 − raíz(5) y 5 + raíz(5). La menor queda entre 2 y 3, y la mayor supera 4; ninguna es un ajuste entero admitido. Con n = 2 se obtienen 16 × 10 = 160 pesos y con n = 3, 15 × 11 = 165. Redondear a 3 no alcanza 164; no hay ajuste admisible para esa meta.

Compruébalo ahora

Un escenario con ajustes enteros de 0 a 5 propone precio 32 − n pesos MXN y cantidad 10 + 2n unidades vendidas. Un alumno escribe R(n) = 320 + 64n − 10n y afirma que ese modelo ya incluye todas las variaciones. Repara la expresión y compara su ingreso con el correcto en n = 2. Explica de qué producto nace la diferencia. Da ingresos enteros en pesos.
Ver solución explicada
- Reconstruir los cuatro productos y el término cuadrático omitido.
- Calcular ambos resultados para n = 2.
- Explicar el exceso con el producto entre las dos variaciones.
Respuesta: Falta (−n)(2n) = −2n². La expresión completa es 320 + 54n − 2n². Para n = 2, el cálculo incompleto da 428 y el producto correcto 30 × 14 = 420 pesos. Los 8 pesos de exceso son 2n² en ese ajuste.
Falta (−n)(2n) = −2n². La expresión completa es 320 + 54n − 2n². Para n = 2, el cálculo incompleto da 428 y el producto correcto 30 × 14 = 420 pesos. Los 8 pesos de exceso son 2n² en ese ajuste.
Otro escenario propone precio 40 − n pesos MXN y cantidad 10 + n productos. El ajuste n debe ser un entero no negativo y no se pueden vender más de 22 productos. Encuentra todos los ajustes que darían $600 MXN al resolver la ecuación y decide cuáles son admisibles. Comprueba el precio, la cantidad y el ingreso de cada raíz; no descartes una solo por ser la mayor. Da cantidades y pesos enteros.
Ver solución explicada
- Obtener y verificar las dos raíces algebraicas.
- Aplicar la capacidad a la cantidad vendida y no solo al ajuste.
- Conservar únicamente la raíz que cumple todas las condiciones.
Respuesta: La ecuación (40 − n)(10 + n) = 600 se reduce a n² − 30n + 200 = 0 = (n − 10)(n − 20). Con n = 10, precio $30 y cantidad 20: ingreso $600 y capacidad respetada. Con n = 20, precio $20 y cantidad 30: también ingreso $600, pero supera la capacidad de 22. Solo n = 10 es admisible.
La ecuación (40 − n)(10 + n) = 600 se reduce a n² − 30n + 200 = 0 = (n − 10)(n − 20). Con n = 10, precio $30 y cantidad 20: ingreso $600 y capacidad respetada. Con n = 20, precio $20 y cantidad 30: también ingreso $600, pero supera la capacidad de 22. Solo n = 10 es admisible.
Una nota propone reducir el precio de $20 a $18 MXN por producto. Hay 30 productos disponibles, pero no se sabe cuántos se venderán. La nota anuncia $540 MXN de ingreso por usar el nuevo precio. Decide qué supuesto haría cierto el anuncio y construye dos cantidades posibles vendidas, ambas enteras entre 1 y 30, que den ingresos diferentes a ese anuncio y diferentes entre sí. Explica qué dato o regla falta para elegir una predicción. Da ingresos enteros en pesos.
Ver solución explicada
- Identificar la venta total como supuesto del anuncio.
- Proponer dos cantidades admisibles con ingresos distintos entre sí y de 540.
- Nombrar el dato de cantidad vendida o una regla de escenario como información faltante.
Respuesta: 540 pesos exige vender los 30 productos, pues 18 × 30 = 540. Podrían venderse 20 por $360 o 25 por $450, ambos compatibles con el inventario y el precio. Falta conocer la cantidad vendida o adoptar expresamente una regla de ventas; bajar el precio no la determina.
540 pesos exige vender los 30 productos, pues 18 × 30 = 540. Podrían venderse 20 por $360 o 25 por $450, ambos compatibles con el inventario y el precio. Falta conocer la cantidad vendida o adoptar expresamente una regla de ventas; bajar el precio no la determina.
En un escenario independiente, precio 18 − n pesos MXN y cantidad 8 + n productos dependen de un ajuste entero n entre 0 y 4. Se quiere alcanzar exactamente $164 MXN. Plantea la ecuación de ingreso y resuélvela conservando las raíces exactas. Un alumno redondea la raíz menor a 3 y declara alcanzada la meta. Audita su decisión y comprueba los ingresos en los enteros que quedan a cada lado de la raíz menor. Da raíces exactas, ajustes enteros e ingresos sin decimales en pesos.
Ver solución explicada
- Construir el producto completo y resolver sus dos raíces exactas.
- Comprobar el dominio entero y el límite superior, sin sustituirlos por un redondeo.
- Verificar los ingresos vecinos y rechazar la certificación de $164.
Respuesta: La ecuación (18 − n)(8 + n) = 164 da n² − 10n + 20 = 0, con raíces 5 − raíz(5) y 5 + raíz(5). La menor queda entre 2 y 3, y la mayor supera 4; ninguna es un ajuste entero admitido. Con n = 2 se obtienen 16 × 10 = 160 pesos y con n = 3, 15 × 11 = 165. Redondear a 3 no alcanza 164; no hay ajuste admisible para esa meta.
La ecuación (18 − n)(8 + n) = 164 da n² − 10n + 20 = 0, con raíces 5 − raíz(5) y 5 + raíz(5). La menor queda entre 2 y 3, y la mayor supera 4; ninguna es un ajuste entero admitido. Con n = 2 se obtienen 16 × 10 = 160 pesos y con n = 3, 15 × 11 = 165. Redondear a 3 no alcanza 164; no hay ajuste admisible para esa meta.

Alineación curricular y fuentes

Programa de Estudio para la Educación Secundaria: Programa Sintético de la Fase 6, versión alojada por SEP en 2025. Ecuaciones lineales y cuadráticas y Funciones, tercer grado, p. 59 impresa (PDF 61): problemas cuadráticos y variación de dos cantidades. Selección y desarrollo editorial parcial; no programación anual ni cobertura completa. · Programa de Estudio para la Educación Secundaria: Programa Sintético de la Fase 6

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