3.º de secundariaRuta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Seleccionar medidas y correspondencias suficientes para comprobar una semejanza.
- Distinguir qué representa una razón lineal frente a un área y una copia con margen fijo.
Antes de empezar
- Igualar unidades de longitud.
- Calcular razones y raíces positivas.
- Reconocer semejanza de triángulos por lados proporcionales.
- Comprobar que la suma de dos lados de un triángulo es mayor que el tercero.
Qué necesitamos entender
Una escala uniforme multiplica las longitudes correspondientes por el mismo factor positivo k. Para comprobarla, identifica qué lado corresponde a cuál y compara sus razones en la misma unidad. Una tabla de lados evita mezclar un ancho con un alto o una medida real en metros con una copia en centímetros. Girar una figura no cambia sus razones.
En triángulos, las tres razones de lados correspondientes iguales acreditan semejanza por el criterio lado-lado-lado. Dos razones iguales sin dato angular ni la tercera razón no bastan por sí solas. Si se pretende inferir un lado usando semejanza, hay que distinguir ese supuesto ya declarado de una semejanza que todavía se investiga. Para que tres longitudes positivas formen un triángulo, cada una debe ser menor que la suma de las otras dos; comprobar esa condición permite construir una alternativa real.
Cuando una figura es semejante, el área se multiplica por k². Puedes recuperar k como la raíz positiva de la razón de áreas, pero la igualdad de esa razón no demuestra por sí misma semejanza. Dos rectángulos de igual área pueden tener proporciones distintas. La condición de forma debe aparecer antes de usar k para recuperar lados.
Un borde fijo alrededor de una copia añade longitud; no forma parte de la ampliación uniforme del contenido. Si el contenido mide ka por kb y el borde tiene ancho m por cada lado, el exterior mide ka + 2m por kb + 2m. El mismo k conserva la forma del contenido, mientras que el exterior puede tener otras proporciones. Conserva por separado estas representaciones para revisar tamaño disponible y áreas.
- Lados correspondientes
- Medidas que representan la misma parte de dos figuras, según una asociación declarada o justificada; no se emparejan por la posición en una lista.
Cómo elegir la representación y comprobar
- Fija las correspondencias y expresa las medidas en la misma unidad.
- Elige la evidencia adecuada: razones de todos los lados necesarios o un supuesto de semejanza declarado.
- Usa k para longitudes y k² para áreas; no utilices una razón de áreas para probar la forma.
- Si existe un borde u otra suma fija, construye otra representación para el tamaño exterior y comprueba la condición pedida.
Un caso resuelto
Un contenido rectangular mide 8 por 12 cm. Su copia es semejante y el área del contenido copiado es 216 cm². Después se añade un borde exterior de 1 cm en cada lado. Una ficha declara que el rectángulo completo mantiene la misma proporción. Comprueba el factor, las medidas y esa declaración.
- El área original es 96 cm². La razón 216/96 = 2.25 da k = 1.5 porque la semejanza del contenido está declarada.
- Las dimensiones del contenido copiado son 12 y 18 cm. El borde añade 2 cm a cada dimensión: el exterior mide 14 por 20 cm.
- Las razones exteriores respecto al original son 14/8 = 1.75 y 20/12 = 5/3; son diferentes.
- La copia del contenido es semejante; el exterior con borde no conserva esa proporción. Su área es 280 cm² y el borde ocupa 280 − 216 = 64 cm².
El factor del contenido es 1.5; el exterior mide 14 por 20 cm y no es semejante al rectángulo original.
Registro del ejemplo
| Parte | Ancho (cm) | Alto (cm) | Área (cm²) |
|---|---|---|---|
| Contenido original | 8 | 12 | 96 |
| Contenido copiado | 12 | 18 | 216 |
| Exterior con borde | 14 | 20 | 280 |
Un error que podemos explicar
Tomar una razón de áreas como prueba de que dos figuras son semejantes.
Comprobar las proporciones o usar una semejanza previamente declarada.
Un mismo producto puede provenir de lados con razones distintas.
- Las correspondencias y la forma se comprueban antes de inferir longitudes.
- La escala del contenido y el tamaño exterior con borde son representaciones diferentes.
Comprueba con otro casoPrueba otro caso
Dos triángulos tienen lados correspondientes AB↔DE, BC↔EF y CA↔FD. En el primero, AB = 0.06 m, BC = 0.08 m y CA = 0.10 m. En el segundo, DE = 9 cm, EF = 12 cm y FD = 14 cm. Decide si las medidas acreditan semejanza, conservando exactamente las correspondencias. Muestra las tres razones y explica qué dato impide extender a todos los lados lo observado en dos. Da razones exactas y longitudes en centímetros.
Se comparan dos triángulos con correspondencias AB↔PQ, BC↔QR y CA↔RP. El primero tiene AB = 9 cm, BC = 12 cm y CA = 15 cm. El segundo tiene PQ = 0.12 m, QR = 0.16 m y RP = 0.20 m. Comprueba semejanza por las tres razones y decide si el factor declarado de 0.75 corresponde al paso del primero al segundo o al regreso. Da el factor como fracción irreducible y convierte las longitudes a centímetros.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Resultados y razonamiento del caso: El primer triángulo mide 6, 8 y 10 cm. Las razones son 9/6 = 3/2, 12/8 = 3/2 y 14/10 = 7/5. La tercera difiere; estas medidas no acreditan semejanza y contradicen una escala uniforme con esas correspondencias.
Modelo de respuesta: El primer triángulo mide 6, 8 y 10 cm. Las razones son 9/6 = 3/2, 12/8 = 3/2 y 14/10 = 7/5. La tercera difiere; estas medidas no acreditan semejanza y contradicen una escala uniforme con esas correspondencias.
Criterios para revisar tu respuesta:
- Convertir metros a centímetros antes de dividir.
- Calcular las tres razones y señalar la discrepancia de CA↔FD.
El primer triángulo mide 6, 8 y 10 cm. Las razones son 9/6 = 3/2, 12/8 = 3/2 y 14/10 = 7/5. La tercera difiere; estas medidas no acreditan semejanza y contradicen una escala uniforme con esas correspondencias.
Respuesta: Resultados y razonamiento del caso: El segundo mide 12, 16 y 20 cm. Las tres razones segundo/primero son 4/3, por lo que hay semejanza. El paso del primero al segundo usa 4/3; 0.75 = 3/4 corresponde al regreso.
Modelo de respuesta: El segundo mide 12, 16 y 20 cm. Las tres razones segundo/primero son 4/3, por lo que hay semejanza. El paso del primero al segundo usa 4/3; 0.75 = 3/4 corresponde al regreso.
Criterios para revisar tu respuesta:
- Comprobar las tres razones con las mismas unidades.
- Distinguir la dirección del factor y verificar el recíproco.
El segundo mide 12, 16 y 20 cm. Las tres razones segundo/primero son 4/3, por lo que hay semejanza. El paso del primero al segundo usa 4/3; 0.75 = 3/4 corresponde al regreso.
El reto final es la práctica 4 de «Compruébalo ahora». Resuélvela con sus datos y condiciones, y consulta su solución después de completar tu razonamiento.
Solución accesible sin interacción
- Examinar los tres factores sin alterar correspondencias ni borde.
- Comprobar de forma separada las dos dimensiones exteriores y el área de contenido.
- Elegir 0.6 y explicar el incumplimiento de los otros.
Respuesta: Con 0.5: contenido 5.0 por 8.0, exterior 7.0 por 10.0 y área 40.00: cabe, pero no alcanza 50. Con 0.6: contenido 6.0 por 9.6, exterior 8.0 por 11.6 y área 57.60: cumple ambas. Con 0.75: contenido 7.5 por 12.0, exterior 9.5 por 14.0 y área 90.00: no cabe. Solo k = 0.6 sirve.
Con 0.5: contenido 5.0 por 8.0, exterior 7.0 por 10.0 y área 40.00: cabe, pero no alcanza 50. Con 0.6: contenido 6.0 por 9.6, exterior 8.0 por 11.6 y área 57.60: cumple ambas. Con 0.75: contenido 7.5 por 12.0, exterior 9.5 por 14.0 y área 90.00: no cabe. Solo k = 0.6 sirve.
Compruébalo ahora
Dos triángulos se comparan por correspondencias AB↔PQ, BC↔QR y CA↔RP. AB = 5 cm, BC = 7 cm y CA = 8 cm; PQ = 10 cm y QR = 14 cm. La longitud RP no se ha medido y no se conoce ningún ángulo. Un registro ya escribe RP = 16 cm como medida comprobada. Explica qué permitiría calcular 16, y propón otro valor entero de RP que forme un triángulo con 10 y 14 sin dar semejanza. Indica qué observación falta para comprobar el registro. Da longitudes enteras en centímetros.
Ver solución explicada
- Distinguir una inferencia condicional de un dato medido.
- Dar un lado compatible con la existencia del triángulo que rompa la tercera razón.
- Pedir una medida o evidencia que realmente discrimine.
Respuesta: RP = 16 se deduce solo si se adopta la semejanza con factor 2; no es una medida observada. Podría ser 18 cm: 10 + 14 > 18 y las otras desigualdades del triángulo se cumplen, pero 18/8 no es 2. Falta medir RP o aportar otra evidencia suficiente de semejanza, como el ángulo comprendido correspondiente.
RP = 16 se deduce solo si se adopta la semejanza con factor 2; no es una medida observada. Podría ser 18 cm: 10 + 14 > 18 y las otras desigualdades del triángulo se cumplen, pero 18/8 no es 2. Falta medir RP o aportar otra evidencia suficiente de semejanza, como el ángulo comprendido correspondiente.
Un rectángulo A mide 4 por 9 cm. El rectángulo B tiene área 144 cm² y un registro dice que debe ser la ampliación doble de A. No declara semejanza ni aporta lados de B. Construye dos rectángulos posibles para B con esa área: uno semejante a A con factor 2 y otro que no lo sea, aun permitiendo girarlo. Muestra qué razones distinguen las dos propuestas. Da dimensiones enteras en centímetros.
Ver solución explicada
- Proponer dos rectángulos de área 144 y verificarla.
- Conservar una ampliación por 2 y refutar la otra con proporciones.
- Examinar la posibilidad de giro sin cambiar la conclusión.
Respuesta: Una posibilidad es 8 por 18 cm, cuya área es 144 y cuyas razones respecto a 4 por 9 son ambas 2. Otra es 12 por 12 cm: también tiene área 144, pero las razones 12/4 = 3 y 12/9 = 4/3 difieren. Girar el cuadrado no cambia ese resultado. La razón de áreas 4 no fija semejanza.
Una posibilidad es 8 por 18 cm, cuya área es 144 y cuyas razones respecto a 4 por 9 son ambas 2. Otra es 12 por 12 cm: también tiene área 144, pero las razones 12/4 = 3 y 12/9 = 4/3 difieren. Girar el cuadrado no cambia ese resultado. La razón de áreas 4 no fija semejanza.
El contenido original de una tarjeta mide 6 por 10 cm. Se imprime con factor uniforme 1.5 y luego se añade un borde exterior de 0.5 cm por cada lado. Una tabla informa exterior 9.5 por 15.5 cm y área del borde 12.25 cm². Repara ambas dimensiones exteriores y el área del borde, mostrando qué parte pertenece a la escala y qué parte se suma. Da longitudes con un decimal y áreas con dos decimales.
Ver solución explicada
- Separar el contenido ampliado del borde fijo y contar ambos extremos.
- Obtener exterior 10 por 16 y restar áreas para hallar el borde.
Respuesta: El contenido mide 9.0 por 15.0 cm y ocupa 135.00 cm². El borde añade 1.0 cm a cada dimensión: exterior 10.0 por 16.0 cm, área 160.00 cm². El borde ocupa 25.00 cm². La tabla descontó uno de los dos extremos al construir cada dimensión.
El contenido mide 9.0 por 15.0 cm y ocupa 135.00 cm². El borde añade 1.0 cm a cada dimensión: exterior 10.0 por 16.0 cm, área 160.00 cm². El borde ocupa 25.00 cm². La tabla descontó uno de los dos extremos al construir cada dimensión.
Un contenido rectangular original mide 10 por 16 cm y debe imprimirse con un factor uniforme k. Se permiten solo k = 0.5, 0.6 o 0.75. Después se agrega un borde exterior de 1 cm por lado. El conjunto debe caber con lados paralelos en una carpeta de 9 por 12 cm; el ancho original corresponde a 9 y el alto original a 12. El área del contenido impreso debe ser al menos 50 cm². Elige qué factores cumplen ambas condiciones, verificando tamaño exterior y área del contenido por separado. Explica por qué no basta mirar solo la carpeta. Da longitudes con un decimal y áreas con dos decimales.
Ver solución explicada
- Examinar los tres factores sin alterar correspondencias ni borde.
- Comprobar de forma separada las dos dimensiones exteriores y el área de contenido.
- Elegir 0.6 y explicar el incumplimiento de los otros.
Respuesta: Con 0.5: contenido 5.0 por 8.0, exterior 7.0 por 10.0 y área 40.00: cabe, pero no alcanza 50. Con 0.6: contenido 6.0 por 9.6, exterior 8.0 por 11.6 y área 57.60: cumple ambas. Con 0.75: contenido 7.5 por 12.0, exterior 9.5 por 14.0 y área 90.00: no cabe. Solo k = 0.6 sirve.
Con 0.5: contenido 5.0 por 8.0, exterior 7.0 por 10.0 y área 40.00: cabe, pero no alcanza 50. Con 0.6: contenido 6.0 por 9.6, exterior 8.0 por 11.6 y área 57.60: cumple ambas. Con 0.75: contenido 7.5 por 12.0, exterior 9.5 por 14.0 y área 90.00: no cabe. Solo k = 0.6 sirve.
Alineación curricular y fuentes
- Programa de Estudio para la Educación Secundaria: Programa Sintético de la Fase 6, versión alojada por SEP en 2025. Construcción y propiedades de figuras planas y cuerpos, tercer grado, p. 60 impresa (PDF 62): congruencia y semejanza de triángulos. Introducción al álgebra, tercer grado, p. 59 (PDF 61): relaciones entre áreas y variables. Selección y desarrollo editorial parcial; no programación anual ni cobertura completa. · Programa de Estudio para la Educación Secundaria: Programa Sintético de la Fase 6