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Cinemática vectorial y movimientos compuestos

1.º de BachilleratoRuta de edumaterial

Qué vas a aprender

  • Obtener desplazamiento, velocidad y aceleración a partir de una función vectorial del tiempo.
  • Descomponer un movimiento parabólico en dos movimientos simultáneos independientes.
  • Relacionar periodo, velocidad angular, velocidad lineal y aceleración centrípeta.

Antes de empezar

  • Operar con vectores cartesianos y trigonometría básica.
  • Resolver MRU y MRUA con convenio de signos.
  • Interpretar funciones sencillas y tasas de cambio.

Movimiento significa cambio respecto a un sistema

La posición es un vector medido desde un origen en un sistema de referencia. El desplazamiento r₂−r₁ depende solo de los extremos; la distancia recorrida depende de toda la trayectoria y nunca es menor que el módulo del desplazamiento.

Velocidad y aceleración son vectores. La aceleración puede cambiar el módulo de la velocidad, su dirección o ambas cosas; por eso un movimiento circular uniforme tiene aceleración aunque la rapidez sea constante.

Tasas de cambio

v = dr/dt; a = dv/dt
La velocidad instantánea es la tasa de cambio de la posición y es tangente a la trayectoria. La aceleración es la tasa de cambio de la velocidad. Para funciones polinómicas sencillas se obtienen derivando cada componente respecto al tiempo.

Analizar r(t)

  1. Escribe cada componente con su unidad.
  2. Resta posiciones para obtener desplazamiento entre dos instantes.
  3. Deriva cada componente de r(t) para obtener v(t).
  4. Deriva v(t) para obtener a(t).
  5. Sustituye el instante solo después de obtener las funciones y calcula módulos si se piden.

Movimiento circular

Una vuelta equivale a 2π rad. La velocidad angular es ω=2π/T=2πf y la rapidez lineal es v=ωr. En movimiento circular uniforme la aceleración centrípeta apunta al centro y vale aᶜ=v²/r=ω²r.

La aceleración centrípeta no es una fuerza adicional: es el resultado cinemático de que la fuerza neta tenga una componente hacia el centro.

Resolver un tiro parabólico

  1. Elige ejes y origen; normalmente x horizontal e y vertical hacia arriba.
  2. Descompón v₀: v₀x=v₀cosθ y v₀y=v₀senθ.
  3. En ausencia de rozamiento, ax=0 y ay=−g.
  4. Usa x=x₀+v₀x t y y=y₀+v₀y t−gt²/2.
  5. Obtén el tiempo de una condición vertical y úsalo después en el eje horizontal.
  6. Comprueba si salida y llegada están o no a la misma altura antes de usar fórmulas abreviadas.

Lanzamiento horizontal desde una mesa

Una esfera sale horizontalmente a 4 m/s desde 1,25 m; usa g=10 m/s².

  1. En y: 0=1,25−5t², de donde t=0,50 s.
  2. En x no hay aceleración: x=4·0,50.
  3. La velocidad vertical final es vy=−gt=−5 m/s.

Alcanza el suelo a 2,0 m horizontalmente; la componente vertical final es −5 m/s.

La gravedad no frena el eje horizontal

Restar gt a la componente horizontal de la velocidad.

Sin rozamiento, vx permanece constante y la gravedad solo cambia vy.

Los dos movimientos comparten el tiempo, pero cada eje responde a su propia componente de aceleración.

Componentes y magnitudes vectoriales

¿Qué cambia la aceleración TANGENCIAL de un móvil?

Elige una respuesta

Solución accesible sin interacción

Respuesta: La rapidez: aumenta o disminuye su módulo — La componente tangencial cambia el valor de la rapidez.

Se llama tangencial porque va en la misma dirección que la velocidad, tangente a la trayectoria: la empuja o la frena, pero no la desvía.

Descomponer un tiro parabólico

Desde el mismo punto se disparan dos proyectiles a 30 y 60 grados, con igual rapidez inicial, y aterrizan a la altura de salida. Despreciando la resistencia del aire, ¿cuál tiene mayor alcance horizontal?

Elige una respuesta

Solución accesible sin interacción

Respuesta: Igual alcance: los ángulos son complementarios — En el modelo ideal con igual altura final, el seno de dos veces el ángulo coincide.

Dos ángulos que suman 90 grados dan el mismo alcance. El de 60 vuela más alto y más tiempo, y el de 30 avanza más deprisa, y las dos cosas se compensan exactamente.

Leer gráficas cinemáticas

Dos móviles se desplazan a velocidad constante desde posiciones distintas. Sus rectas en la gráfica posición-tiempo se cruzan en el segundo 10. ¿Qué significa ese cruce?

Elige una respuesta

Solución accesible sin interacción

Respuesta: En ese instante tienen igual posición — Las gráficas coinciden en coordenada de posición y tiempo en el cruce.

En una gráfica posición-tiempo, el cruce indica la misma posición en el mismo instante. La velocidad depende de la pendiente de cada recta; el cruce no acredita una parada ni una colisión.

Componentes y trayectoria

Se lanza horizontalmente una pelota a 10,0 m/s desde 20,0 m, con g = 10,0 m/s² y sin rozamiento. Calcula tiempo de caída, alcance y velocidad vertical al llegar.

Solución accesible sin interacción
  • Demuestra que puedes obtener desplazamiento, velocidad y aceleración a partir de una función vectorial del tiempo.
  • Demuestra que puedes descomponer un movimiento parabólico en dos movimientos simultáneos independientes.
  • Demuestra que puedes relacionar periodo, velocidad angular, velocidad lineal y aceleración centrípeta.

Respuesta: 2,00 s; 20,0 m; 20,0 m/s hacia abajo.

Los movimientos horizontal uniforme y vertical acelerado comparten tiempo: 20 = 1/2·10·t², x = 10t y vy = gt.

Una pelota ocupa posiciones sucesivas sobre una parábola; flechas horizontales iguales y flechas verticales cambiantes muestran las dos componentes del movimiento.
El movimiento parabólico combina avance horizontal uniforme y movimiento vertical acelerado.

Compruébalo ahora

  1. Ver la ilustración

    En SI, r(t)=(2t, 3t²). Calcula v(t), a(t), v(2 s) y a(2 s).

    Ver solución explicada

    Respuesta: v(t)=(2,6t) m/s; a(t)=(0,6) m/s²; v(2)=(2,12) m/s; a(2)=(0,6) m/s².

    Se deriva cada componente una vez para la velocidad y otra para la aceleración. Solo después se sustituye t=2 s.

  2. Ver la ilustración

    Un proyectil sale desde el suelo a 20 m/s y 30° y vuelve a la misma altura. Usa g=10 m/s². Calcula tiempo de vuelo, altura máxima y alcance.

    Ver solución explicada

    Respuesta: Tiempo 2,00 s; altura máxima 5,00 m; alcance 34,6 m.

    v₀y=10 m/s y v₀x=20cos30°=17,32 m/s. T=2v₀y/g=2 s; h=v₀y²/(2g)=5 m; R=v₀xT=34,6 m.

  3. Ver la ilustración

    Un móvil describe una circunferencia de radio 2,00 m con periodo 4,00 s. Calcula rapidez y aceleración centrípeta.

    Ver solución explicada

    Respuesta: v=π m/s≈3,14 m/s; aᶜ=π²/2 m/s²≈4,93 m/s².

    v=2πr/T=2π·2/4=π m/s. Después aᶜ=v²/r=π²/2 m/s².

Alineación curricular y fuentes

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