5.º de PrimariaRuta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Explicar la relación entre múltiplo, divisor y división exacta.
- Aplicar criterios de divisibilidad sencillos y confirmarlos cuando sea necesario.
- Distinguir números primos y compuestos mediante parejas de factores.
Antes de empezar
- Conocer las tablas de multiplicar.
- Distinguir división exacta y división con resto.
- Organizar objetos en filas y columnas.
Una misma igualdad se puede leer en dos sentidos
Como 6 × 6 = 36, 36 es múltiplo de 6 y 6 es divisor de 36. La división 36 : 6 es exacta: cociente 6 y resto 0.
Los múltiplos de un número continúan sin fin porque siempre se puede multiplicar por otro natural. Sus divisores son una lista finita que empieza por 1 y termina en el propio número.
Cómo hallar todos los divisores
- Empieza por 1 y busca multiplicaciones que den el número.
- Anota los factores por parejas: para 36 aparecen 1 y 36, 2 y 18, 3 y 12, 4 y 9, 6 y 6.
- Detente cuando las parejas comiencen a repetirse en orden inverso.
- Ordena la lista y comprueba que cada división deja resto cero.
Criterios que miran la última cifra o la suma
- Última cifra
Es divisible entre 2 si termina en cifra par; entre 5 si termina en 0 o 5; y entre 10 si termina en 0.
- Suma de cifras
Es divisible entre 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3, y entre 9 si esa suma es múltiplo de 9.
Estudiamos 459
Queremos saber si 459 es divisible entre 3 y entre 9.
- Sumamos sus cifras: 4 + 5 + 9 = 18.
- 18 es múltiplo de 3 y también de 9.
- Por tanto, 459 es divisible entre 3 y entre 9.
459 : 9 = 51 confirma la división exacta.
- Número primo
- Es un número natural mayor que 1 que tiene exactamente dos divisores: 1 y él mismo. Si posee más divisores, es compuesto; el 1 no es primo ni compuesto.
Confundir criterio con demostración universal
37 es primo porque no es par.
37 no es divisible entre 2, 3 ni 5; las únicas parejas posibles ya se han descartado.
Ser impar solo descarta el divisor 2. Un número impar como 21 puede ser compuesto porque 3 × 7 = 21.
Busca parejas
Observa la ilustración y anticipa una respuesta antes de calcular.
¿Qué parejas de factores reconoces en las tres organizaciones de 36 fichas?
Explica qué dato visual utilizas y qué parte necesita todavía un cálculo.
Comprobar la predicción
Cada rectángulo muestra dos divisores cuyo producto es 36.
Conecta múltiplo, divisor y cocienteConecta un nuevo reparto
Relaciona cada afirmación sobre 42 y 6 con su significado.
Relaciona cada afirmación sobre 56 y 8 con su significado.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: 42 respecto de 6 → 42 es múltiplo de 6; 6 respecto de 42 → 6 es divisor de 42; 42 ÷ 6 → Cociente exacto 7
Cada relación se obtiene aplicando la definición o el cálculo indicado, no por la posición de las opciones.
Respuesta: 56 respecto de 8 → 56 es múltiplo de 8; 8 respecto de 56 → 8 es divisor de 56; 56 ÷ 8 → Cociente exacto 7
La variante exige reconstruir las relaciones con los nuevos datos.
Aplica criterios y justificaAplica criterios a otros números
Clasifica cada afirmación de divisibilidad.
Clasifica cada afirmación nueva de divisibilidad.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: 246 entre 2 → Sí es divisible (La última cifra es par.); 735 entre 5 → Sí es divisible (Termina en 0 o 5.); 742 entre 3 → No es divisible (La suma de cifras no es múltiplo de 3.)
La clasificación queda demostrada por la propiedad indicada en cada caso.
Respuesta: 1 152 entre 2 → Sí es divisible (La última cifra es par.); 1 152 entre 9 → Sí es divisible (La suma de cifras es múltiplo de 9.); 1 152 entre 5 → No es divisible (No termina en 0 ni en 5.)
La variante exige aplicar las mismas definiciones a ejemplos diferentes.
Encuentra el primoEncuentra otro primo
¿Qué número es primo y qué comprobación lo demuestra?
¿Qué número nuevo es primo y qué comprobación lo demuestra?
Solución accesible sin interacción
Respuesta: 29 — Pruebo 2, 3 y 5 sin divisibilidad; sus cuadrados delimitan los divisores primos que hay que comprobar.
No es divisible entre 2, 3 ni 5; basta probar los primos menores que √29.
Respuesta: 41 — Compruebo 2, 3 y 5; ninguno divide 41 y el siguiente primo, 7, tiene un cuadrado mayor que 41.
No es divisible entre 2, 3 ni 5; son los primos que no superan √41.
Audita 84 fichas
Decide si 84 es múltiplo de 2, 3, 6 y 9; escribe una pareja de divisores y concluye si es primo o compuesto.
Solución accesible sin interacción
- Aplica primero los criterios de 2, 3 y 9.
- Comprueba 84÷6 mediante 6×14.
- Una pareja de factores distinta de 1×84 demuestra que es compuesto.
Respuesta: Es múltiplo de 2, 3 y 6, pero no de 9; 6 y 14 son divisores emparejados; 84 es compuesto.
84 es par; 8+4=12, divisible por 3 pero no por 9. Como 84=6×14, la división entre 6 es exacta y existen divisores distintos de 1 y 84.
- Una división exacta conecta múltiplo y divisor.
- Los divisores aparecen por parejas de factores.
- Los criterios anticipan si una división será exacta.
- Un primo mayor que 1 tiene solo dos divisores.
Compruébalo ahora
Además de las tres organizaciones mostradas, escribe las otras dos parejas de divisores de 36.
Ver solución explicada
Respuesta: 1 y 36; 2 y 18
Las parejas completas son 1×36, 2×18, 3×12, 4×9 y 6×6. El dibujo ya muestra las tres últimas.
¿Es 738 divisible entre 2, entre 3 y entre 9? Responde para las tres divisiones.
Ver solución explicada
Respuesta: Sí entre 2, 3 y 9
Termina en 8, así que es par. Sus cifras suman 18, múltiplo de 3 y también de 9; por tanto, las tres divisiones son exactas.
Decide si 37 es primo comprobando los posibles divisores menores que su raíz cuadrada.
Ver solución explicada
Respuesta: 37 es primo
La raíz de 37 está entre 6 y 7. Basta probar los primos 2, 3 y 5: 37 no es par, 3+7=10 no es múltiplo de 3 y no termina en 0 o 5. No aparece ninguna pareja de factores distinta de 1×37.
Alineación curricular y fuentes
- Matemáticas · tercer ciclo de Primaria · sentido numérico: relación de divisibilidad, múltiplos y divisores; secuenciación editorial de 5.º · Real Decreto 157/2022, currículo básico de Educación Primaria