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M.c.d. y m.c.m.: elegir, calcular y comprobar

6.º de PrimariaRuta de edumaterial

Qué vas a aprender

  • Descomponer números compuestos en factores primos y reconstruir el número.
  • Decidir si una situación exige un divisor común o un múltiplo común.
  • Comprobar que el m.c.d. divide y el m.c.m. es múltiplo de los dos números.

Antes de empezar

  • Reconocer números primos y compuestos.
  • Conocer criterios de divisibilidad sencillos.
  • Hallar divisores y múltiplos de números pequeños.
Descomposición en factores primos
Escribir un número como producto de números primos. Por ejemplo, dividir sucesivamente entre primos permite llegar a 40 = 2 × 2 × 2 × 5 = 2³ × 5. Multiplicar los factores reconstruye el número y sirve como comprobación.

Dos preguntas comunes, dos respuestas distintas

  • Máximo común divisor

    Es el mayor número que divide exactamente a los dos datos. Aparece cuando una medida o una cantidad debe repartirse en partes iguales sin que sobre, pero esa condición debe leerse en el problema.

  • Mínimo común múltiplo

    Es el menor número positivo que es múltiplo de los dos datos. Aparece cuando dos ciclos deben volver a coincidir o se busca el primer total compatible con ambos.

Calcular sin intercambiar las reglas

  1. Descompón cada número en factores primos.
  2. Para el máximo común divisor, toma solo los factores comunes con el menor exponente.
  3. Para el mínimo común múltiplo, toma todos los factores necesarios con el mayor exponente.
  4. Multiplica y comprueba el significado del resultado, no solo la cuenta.

Cortar dos listones

Queremos cortar listones de 30 cm y 42 cm en trozos iguales lo más largos posible.

  1. La longitud buscada debe dividir exactamente a 30 y a 42.
  2. 30 = 2 × 3 × 5 y 42 = 2 × 3 × 7.
  3. Los factores comunes con menor exponente son 2 y 3.
  4. 2 × 3 = 6; 30 : 6 = 5 y 42 : 6 = 7.

Cada trozo mide 6 cm. Las dos divisiones exactas acreditan la solución.

Elegir por una palabra aislada

Si aparece la palabra repartir, siempre se calcula el m.c.d.

Se pregunta qué condición debe cumplir el resultado: dividir exactamente o ser múltiplo de los datos.

Un problema puede hablar de repartir turnos que vuelven a coincidir. La situación completa, y no una palabra suelta, determina la operación.

Busca coincidencias

Taller con dos cintas métricas de 24 y 36 unidades preparadas para cortes iguales y dos señales circulares que repiten ciclos de 6 y 8 pasos.
Las cintas piden una medida que divida; las señales, un momento que sea múltiplo.

Observa la ilustración y anticipa una respuesta antes de calcular.

¿Qué problema pide cortes y cuál pide una coincidencia futura?

Explica qué dato visual utilizas y qué parte necesita todavía un cálculo.

Comprobar la predicción

Los cortes máximos usan m.c.d.; las coincidencias de ciclos usan m.c.m.

Factoriza y reconstruye

Relaciona cada número con su factorización prima.

Solución accesible sin interacción

Respuesta: 24 → 2³ × 3; 36 → 2² × 3²; 45 → 3² × 5

Cada producto de primos reconstruye exactamente el número de origen.

Elige m.c.d. o m.c.m.

Cintas de 24 cm y 36 cm se cortan en trozos iguales lo más largos posible. ¿Qué cálculo corresponde?

Elige una respuesta

Solución accesible sin interacción

Respuesta: m.c.d.(24,36)=12 — Busco la mayor longitud que cabe un número entero de veces en 24 y en 36: doce centímetros.

El tamaño máximo de un trozo común es el máximo común divisor, 12 cm.

Comprueba un m.c.d.

Irene comprueba el m.c.d. de 18 y 30. Localiza el primer error.

Elige una respuesta

Solución accesible sin interacción

Respuesta: Toma solo el factor 3 y concluye m.c.d.=3. → Los factores comunes mínimos son 2×3=6; 6 divide 18 y 30.

El m.c.d. debe ser el mayor divisor común, no uno cualquiera.

Organiza cortes y señales

Hay cintas de 48 cm y 60 cm para trozos iguales máximos, y señales que se activan cada 8 y 12 pasos. Factoriza, calcula el corte y la primera coincidencia, y comprueba ambos resultados.

Solución accesible sin interacción
  • Descompón los cuatro números.
  • Distingue divisor común de múltiplo común.
  • Comprueba divisiones exactas y múltiplos.

Respuesta: Trozo de 12 cm; coincidencia en el paso 24.

48=2⁴×3 y 60=2²×3×5: m.c.d.=2²×3=12. Para 8=2³ y 12=2²×3, m.c.m.=2³×3=24.

  • Factorizar permite ver de qué primos está hecho cada número.
  • El máximo común divisor no supera al menor dato y debe dividir a ambos.
  • El mínimo común múltiplo no es menor que el mayor dato y debe ser múltiplo de ambos.
  • La comprobación final decide si la elección responde al problema.

Compruébalo ahora

  1. Ver la ilustración

    Descompón 24 y 36 en factores primos.

    Ver solución explicada

    Respuesta: 24 = 2³ × 3; 36 = 2² × 3²

    24 = 2 × 2 × 2 × 3 y 36 = 2 × 2 × 3 × 3. Multiplicar cada producto devuelve el número inicial.

  2. Ver la ilustración

    Las cintas de 24 cm y 36 cm se cortan en trozos iguales lo más largos posible. ¿Cuánto medirá cada trozo?

    Ver solución explicada

    Respuesta: 12 cm

    Se necesita el máximo común divisor. Con 24 = 2³ × 3 y 36 = 2² × 3², los factores comunes con menor exponente dan 2² × 3 = 12.

  3. Ver la ilustración

    Las dos señales se activan cada 6 y 8 pasos. ¿En qué paso volverán a coincidir por primera vez y cómo lo compruebas?

    Ver solución explicada

    Respuesta: En el paso 24

    El mínimo común múltiplo de 6 y 8 es 24. Se comprueba porque 24 : 6 = 4 y 24 : 8 = 3, ambas divisiones exactas.

Alineación curricular y fuentes