1.er semestre · MCCEMS 2025Ruta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Reconocer un modelo directo por razón constante.
- Reconocer un modelo inverso por producto constante y sus hipótesis.
- Descartar una regla de tres cuando falten condiciones.
Antes de empezar
- Multiplicar y dividir racionales.
- Convertir unidades compatibles.
Decidir qué razón o producto se conserva
Una razón compara dos cantidades y conserva el orden: 80 pesos por 4 entradas equivale a 20 pesos por entrada, no a veinte entradas por peso. En una relación directa se mantiene el cociente. Si el número de entradas se multiplica por tres a precio unitario fijo, su costo también. El modelo no se justifica solo porque ambas cantidades aumenten.
Una tarifa con 25 pesos iniciales más 6 por kilómetro tiene crecimiento regular, pero no es proporcionalidad directa del costo total. Para 2 km cuesta 37 pesos y para 4 km cuesta 49; el segundo no duplica al primero. Solo la parte variable conserva una razón por kilómetro. Identificar este límite evita aplicar una regla de tres a cualquier tabla.
En un modelo inverso se conserva un producto. Para una tarea fija de 40 persona-horas, cinco personas tardarían ocho horas y ocho tardarían cinco. Esto exige rendimiento idéntico, suma de ritmos y ausencia de obstáculos. Una sola máquina puede impedir esa suma de rendimientos. Con distancia fija y velocidad constante, velocidad por tiempo conserva la distancia. Antes de calcular revisa la unidad: si la velocidad está en kilómetros por hora, el tiempo debe expresarse en horas. Una relación numérica compatible no sustituye la explicación del fenómeno.
- Constante de proporcionalidad
- El valor que se conserva como cociente en un modelo directo o como producto en uno inverso. Su unidad depende de las magnitudes que se relacionan.
Un método que se puede comprobar
- Fija qué cantidades cambian y cuál total permanece.
- Comprueba unidades y condiciones de rendimiento o precio.
- Compara cocientes para el modelo directo y productos para el inverso.
- Aplica el factor y verifica la dirección del cambio.
Distingue antes de calcular
- Directa
Tres metros a ocho pesos por metro cuestan veinticuatro; seis metros cuestan cuarenta y ocho.
- Inversa
Repartir sesenta fichas entre tres grupos da veinte por grupo; entre cinco grupos da doce.
Repara el razonamiento
Más personas implica necesariamente menos tiempo en cualquier tarea.
El modelo inverso necesita trabajo fijo y rendimiento aditivo comparable.
Compartir una sola herramienta o realizar tareas distintas puede romper la hipótesis.
Relaciona significadosRelaciona significados
Calcula los tres cocientes y productos antes de elegir un diagnóstico.
Reconstruye cantidad o presupuesto desde la razón unitaria. Relaciona solo el número solicitado y comprueba su unidad en tu cuaderno.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Tabla (2, 14), (4, 28), (8, 56). → Cociente fijo 7; compatible con directa.; Tabla (2, 24), (4, 12), (8, 6). → Producto fijo 48; compatible con inversa.; Tabla (2, 34), (4, 48), (8, 76). → Ni cociente ni producto constante.
Primera razones 7; segunda productos 48; tercera cuota 20 más 7 por unidad rompe ambos indicadores.
Respuesta: A precio unitario constante y sin cuota, 7 piezas cuestan 21 pesos. Con 30 pesos, ¿cuántas piezas enteras se compran? → 10.; 4 piezas cuestan 10 pesos sin cuota, precio constante. ¿Cuánto sobra de 20 pesos tras comprar 7? → 2.5.; 5 piezas cuestan 85 pesos sin cuota, precio constante. ¿Cuánto falta a 50 pesos para comprar 4? → 18.
Precio3:30/3=10 piezas; precio2.5:20−7×2.5=2.5 pesos; precio17:4×17−50=18 pesos.
Elige y justificaElige y justifica
La tabla (2, 14), (4, 28), (8, 56) sugiere qué modelo?
Una tarea tarda 8 h con 3 personas y 4 h con 6, bajo igual rendimiento sin estorbo. ¿Qué se conserva?
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Directo, con razón siete. — Los tres cocientes valen siete: hay proporcionalidad directa.
Todos los cocientes de segunda entre primera coinciden.
Respuesta: Veinticuatro persona-horas. — Ambos productos valen veinticuatro persona-horas.
Los dos productos de personas por tiempo valen veinticuatro.
Localiza el paso incorrectoLocaliza el paso incorrecto
Revisa una tarifa con cuota inicial. Identifica el primer paso incorrecto y su corrección.
Revisa el tiempo de una tarea fija con ritmos aditivos. Identifica el primer paso incorrecto y su corrección.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Cuatro piezas cuestan 80 porque se duplica el total. → Cuatro piezas cuestan 20 + 40 = 60 pesos.
Cuatro piezas cuestan 20 + 40 = 60 pesos.
Respuesta: Diez personas tardan veinticuatro horas. → Diez personas tardan seis horas.
Diez personas tardan seis horas.
- Reconocer un modelo directo por razón constante.
- Reconocer un modelo inverso por producto constante y sus hipótesis.
- Descartar una regla de tres cuando falten condiciones.
Integra y comprueba
Dos planes cobran 18 pesos por pieza sin cuota y 30 de cuota más 12 por pieza. Para tres piezas compara costos y decide si ambos son directos.
Solución accesible sin interacción
- Conservar datos y dominio.
- Justificar la operación o relación elegida.
- Comprobar el resultado con la condición de partida.
Respuesta: El primero cuesta 54 pesos y es directo. El segundo cuesta 66 y su costo total no es directo por la cuota. Esta comparación no determina cuál conviene para toda cantidad posible.
El primero cuesta 54 pesos y es directo. El segundo cuesta 66 y su costo total no es directo por la cuota. Esta comparación no determina cuál conviene para toda cantidad posible.
Compruébalo ahora
Sin cuota fija y a precio constante, 9 piezas cuestan 162 pesos. Un comprador tiene 100 pesos y compra 4. ¿Cuánto le queda? Escribe solo el número pedido.
Ver solución explicada
Respuesta: 28
18 por pieza; costo 72; 100-72=28 pesos.
Un recorrido de 150 km tiene 50 km a 50 km/h y el resto a 25 km/h, velocidades constantes en cada tramo. ¿Cuántas horas en total? Escribe solo el número pedido.
Ver solución explicada
Respuesta: 5
Primer tramo 1 h; segundo 100/25=4 h; total 5 h.
Una tarea fija tarda 18 h con 4 personas de rendimiento igual aditivo sin estorbo. Con 6 personas, ¿cuántas horas se ahorran? Escribe solo el número pedido.
Ver solución explicada
Respuesta: 6
Trabajo 72 persona-horas; nuevo 12 h; ahorro 6 h.
Tarifa 35 pesos iniciales y 8 por pieza. Compara el costo de 5 piezas con duplicar el de 2. ¿Cuánto supera el costo duplicado al real? Escribe solo el número pedido.
Ver solución explicada
Respuesta: 27
5 piezas 75; 2 piezas 51; doble 102; 102-75=27.
Alineación curricular y fuentes
- Pensamiento Matemático I; primer semestre; propósito formativo 4; actividades originales del piloto DGB presencial escolarizado. · Marco Curricular Común de la Educación Media Superior. Modelo Educativo 2025. Pensamiento Matemático
- Pensamiento Matemático I; primer semestre; propósito formativo 6; actividades originales del piloto DGB presencial escolarizado. · Marco Curricular Común de la Educación Media Superior. Modelo Educativo 2025. Pensamiento Matemático
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