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Divisibilidad: de los factores primos a una decisión justificada

1.º de ESORuta de edumaterial

Qué vas a aprender

  • Descomponer números naturales en factores primos y reconstruirlos para comprobar el resultado.
  • Decidir entre divisores comunes y múltiplos comunes a partir de las restricciones del problema.
  • Verificar que un m.c.d. divide exactamente y que un m.c.m. es múltiplo de todos los datos.

Antes de empezar

  • Dominar las cuatro operaciones con números naturales.
  • Reconocer múltiplos y divisores sencillos.
  • Interpretar una potencia como producto de factores iguales.

Dividir exactamente es una relación entre números

Decir que 5 divide a 180 significa que 180 puede organizarse en grupos de 5 sin resto: 180 = 5 × 36. La divisibilidad no es solo una colección de reglas; describe qué números pueden actuar como tamaño de grupo, periodo o pieza exacta de otro.

Las potencias comprimen productos repetidos. Escribir 2² × 3² × 5 permite ver de un vistazo la estructura multiplicativa de 180 y comparar esa estructura con la de otros números.

Factorización prima
Es la escritura de un número natural mayor que 1 como producto de números primos. Salvo el orden de los factores, esa escritura es única: 180 = 2² × 3² × 5.

Descomponer, comparar y elegir

  1. Divide entre el menor número primo posible y continúa con el cociente hasta llegar a 1.
  2. Agrupa los factores iguales mediante potencias y multiplica de nuevo para comprobar que recuperas el número inicial.
  3. Si buscas un divisor común, conserva solo los factores presentes en todos los números con el menor exponente.
  4. Si buscas un múltiplo común, reúne todos los factores necesarios con el mayor exponente.
  5. Lee las restricciones del problema: el m.c.d. produce el mayor tamaño que divide exactamente; el m.c.m. produce la primera cantidad o instante que es múltiplo de todos.

Dos avisos periódicos

Una señal se activa cada 12 minutos y otra cada 18. Acaban de coincidir. ¿Cuándo volverán a hacerlo?

  1. Descomponemos: 12 = 2² × 3 y 18 = 2 × 3².
  2. El instante debe ser múltiplo de 12 y de 18, así que necesitamos el mínimo común múltiplo.
  3. Tomamos 2² y 3²: m.c.m.(12, 18) = 4 × 9 = 36.
  4. Comprobamos: 36 : 12 = 3 y 36 : 18 = 2; es múltiplo de ambos. Ningún múltiplo positivo común menor aparece en las dos listas.

Las señales vuelven a coincidir 36 minutos después.

Las palabras no deciden el método

  • Tamaño común

    Cortar dos cuerdas en trozos iguales, lo más largos posible y sin sobrante exige un divisor de ambas longitudes: se busca el mayor.

  • Instante común

    Dos ciclos que deben coincidir exigen un número que pertenezca a las dos listas de múltiplos: se busca el primero positivo.

Aplicar m.c.d. o m.c.m. por una palabra suelta

Elegir m.c.d. siempre que aparezca «repartir» o m.c.m. siempre que aparezca «tiempo».

Escribir primero qué debe cumplir la respuesta: ¿ha de dividir exactamente cada dato o ser múltiplo de cada periodo?

Un reparto puede preguntar por el número de lotes, por el tamaño de cada lote o por una cantidad total. Solo las restricciones del problema determinan la relación matemática.

Lee factores y ciclos

Laboratorio matemático con la tarjeta 180 = 2² × 3² × 5; dos líneas temporales marcan 0, 12, 24 y 36, y 0, 18 y 36, con el 36 común resaltado.
La estructura prima permite reconstruir 180; las líneas temporales muestran una pregunta distinta de múltiplos comunes.

Observa la ilustración y anticipa una respuesta antes de calcular.

¿Qué información pide reconstruir un número y cuál pide buscar una coincidencia?

Explica qué dato visual utilizas y qué parte necesita todavía un cálculo.

Comprobar la predicción

La tarjeta representa un producto de primos; las líneas temporales representan múltiplos comunes.

Factoriza y reconstruye

Relaciona cada número con su descomposición prima.

Solución accesible sin interacción

Respuesta: 84 → 2² × 3 × 7; 90 → 2 × 3² × 5; 125 → 5³

Multiplicar cada descomposición reconstruye exactamente el número de origen.

Elige la restricción

Cintas de 48 cm y 60 cm se cortan en trozos iguales máximos. ¿Qué cálculo responde?

Elige una respuesta

Solución accesible sin interacción

Respuesta: m.c.d.(48,60)=12 — Doce divide 48 y 60; ningún divisor común mayor permite cortarlas sin restos.

La condición del problema decide entre divisor y múltiplo común.

Comprueba un m.c.d.

Se calcula el m.c.d. de 42 y 56. Localiza el primer error.

Elige una respuesta

Solución accesible sin interacción

Respuesta: Se toma solo 7 y se concluye m.c.d.=7. → Los factores comunes mínimos son 2×7=14; 14 divide ambos números.

El m.c.d. es el mayor divisor común, no cualquier divisor.

Organiza cortes y ciclos

Factoriza 72 y 120 para hallar el mayor trozo común; después factoriza 18 y 24 para hallar la primera coincidencia de dos ciclos. Verifica ambos resultados.

Solución accesible sin interacción
  • Factoriza los cuatro números.
  • Distingue divisor común de múltiplo común.
  • Comprueba cuatro divisiones exactas.

Respuesta: Trozo de 24 unidades; coincidencia en 72.

72=2³×3² y 120=2³×3×5: m.c.d.=24. Para 18=2×3² y 24=2³×3, m.c.m.=72. Se verifica dividiendo 72 y 120 entre 24, y 72 entre 18 y 24.

  • La factorización prima revela la estructura multiplicativa.
  • El m.c.d. es el mayor divisor común; el m.c.m., el menor múltiplo común positivo.
  • La elección se justifica desde las restricciones del problema, no por palabras clave.
  • Reconstruir el número, dividir o comprobar múltiplos cierra el razonamiento.

Compruébalo ahora

  1. Ver la ilustración

    Reconstruye el número de la tarjeta: calcula 2² × 3² × 5 y enumera cuántos divisores primos distintos aparecen.

    Ver solución explicada

    Respuesta: 180; tres primos distintos

    2² × 3² × 5 = 4 × 9 × 5 = 180. Los primos diferentes son 2, 3 y 5.

  2. Ver la ilustración

    Los dos ciclos del visual duran 12 y 18 minutos. Calcula su primera coincidencia y verifica el resultado con dos divisiones.

    Ver solución explicada

    Respuesta: 36 minutos

    m.c.m.(12,18)=36; 36 : 12 = 3 y 36 : 18 = 2, así que el resultado es múltiplo de ambos periodos.

  3. Ver la ilustración

    Mantén el ciclo de 12 minutos y sustituye el de 18 por uno de 20. ¿Cuándo coinciden por primera vez y por qué no usarías el m.c.d.?

    Ver solución explicada

    Respuesta: 60 minutos; se necesita un múltiplo común

    12 = 2² × 3 y 20 = 2² × 5; el m.c.m. es 2² × 3 × 5 = 60. El m.c.d. sería 4, pero 4 no es un instante que complete ninguno de los dos ciclos.

Alineación curricular y fuentes