Divisibilidad: de los factores primos a una decisión justificada
1.º de ESORuta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Descomponer números naturales en factores primos y reconstruirlos para comprobar el resultado.
- Decidir entre divisores comunes y múltiplos comunes a partir de las restricciones del problema.
- Verificar que un m.c.d. divide exactamente y que un m.c.m. es múltiplo de todos los datos.
Antes de empezar
- Dominar las cuatro operaciones con números naturales.
- Reconocer múltiplos y divisores sencillos.
- Interpretar una potencia como producto de factores iguales.
Dividir exactamente es una relación entre números
Decir que 5 divide a 180 significa que 180 puede organizarse en grupos de 5 sin resto: 180 = 5 × 36. La divisibilidad no es solo una colección de reglas; describe qué números pueden actuar como tamaño de grupo, periodo o pieza exacta de otro.
Las potencias comprimen productos repetidos. Escribir 2² × 3² × 5 permite ver de un vistazo la estructura multiplicativa de 180 y comparar esa estructura con la de otros números.
- Factorización prima
- Es la escritura de un número natural mayor que 1 como producto de números primos. Salvo el orden de los factores, esa escritura es única: 180 = 2² × 3² × 5.
Descomponer, comparar y elegir
- Divide entre el menor número primo posible y continúa con el cociente hasta llegar a 1.
- Agrupa los factores iguales mediante potencias y multiplica de nuevo para comprobar que recuperas el número inicial.
- Si buscas un divisor común, conserva solo los factores presentes en todos los números con el menor exponente.
- Si buscas un múltiplo común, reúne todos los factores necesarios con el mayor exponente.
- Lee las restricciones del problema: el m.c.d. produce el mayor tamaño que divide exactamente; el m.c.m. produce la primera cantidad o instante que es múltiplo de todos.
Dos avisos periódicos
Una señal se activa cada 12 minutos y otra cada 18. Acaban de coincidir. ¿Cuándo volverán a hacerlo?
- Descomponemos: 12 = 2² × 3 y 18 = 2 × 3².
- El instante debe ser múltiplo de 12 y de 18, así que necesitamos el mínimo común múltiplo.
- Tomamos 2² y 3²: m.c.m.(12, 18) = 4 × 9 = 36.
- Comprobamos: 36 : 12 = 3 y 36 : 18 = 2; es múltiplo de ambos. Ningún múltiplo positivo común menor aparece en las dos listas.
Las señales vuelven a coincidir 36 minutos después.
Las palabras no deciden el método
- Tamaño común
Cortar dos cuerdas en trozos iguales, lo más largos posible y sin sobrante exige un divisor de ambas longitudes: se busca el mayor.
- Instante común
Dos ciclos que deben coincidir exigen un número que pertenezca a las dos listas de múltiplos: se busca el primero positivo.
Aplicar m.c.d. o m.c.m. por una palabra suelta
Elegir m.c.d. siempre que aparezca «repartir» o m.c.m. siempre que aparezca «tiempo».
Escribir primero qué debe cumplir la respuesta: ¿ha de dividir exactamente cada dato o ser múltiplo de cada periodo?
Un reparto puede preguntar por el número de lotes, por el tamaño de cada lote o por una cantidad total. Solo las restricciones del problema determinan la relación matemática.
- La factorización prima revela la estructura multiplicativa.
- El m.c.d. es el mayor divisor común; el m.c.m., el menor múltiplo común positivo.
- La elección se justifica desde las restricciones del problema, no por palabras clave.
- Reconstruir el número, dividir o comprobar múltiplos cierra el razonamiento.
Compruébalo ahora
Reconstruye el número de la tarjeta: calcula 2² × 3² × 5 y enumera cuántos divisores primos distintos aparecen.
Ver solución explicada
Respuesta: 180; tres primos distintos
2² × 3² × 5 = 4 × 9 × 5 = 180. Los primos diferentes son 2, 3 y 5.
Los dos ciclos del visual duran 12 y 18 minutos. Calcula su primera coincidencia y verifica el resultado con dos divisiones.
Ver solución explicada
Respuesta: 36 minutos
m.c.m.(12,18)=36; 36 : 12 = 3 y 36 : 18 = 2, así que el resultado es múltiplo de ambos periodos.
Mantén el ciclo de 12 minutos y sustituye el de 18 por uno de 20. ¿Cuándo coinciden por primera vez y por qué no usarías el m.c.d.?
Ver solución explicada
Respuesta: 60 minutos; se necesita un múltiplo común
12 = 2² × 3 y 20 = 2² × 5; el m.c.m. es 2² × 3 × 5 = 60. El m.c.d. sería 4, pero 4 no es un instante que complete ninguno de los dos ciclos.
Alineación curricular y fuentes
- Matemáticas · cursos de primero a tercero de ESO · sentido numérico: operaciones, relaciones, divisibilidad y resolución de problemas; secuenciación editorial de 1.º · Real Decreto 217/2022, currículo básico de ESO
Cuando lo tengas claro
Números enteros: posición, distancia y operaciones con signoFracciones: equivalencia, operaciones y control del resultado