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Fracciones: equivalencia, operaciones y control del resultado

1.º de ESORuta de edumaterial

Qué vas a aprender

  • Interpretar, comparar y ordenar fracciones mediante una unidad común.
  • Elegir y ejecutar el procedimiento adecuado para cada operación con fracciones.
  • Simplificar y estimar para comprobar que el resultado tiene una magnitud razonable.

Antes de empezar

  • Reconocer numerador y denominador.
  • Calcular múltiplos comunes.
  • Multiplicar y dividir números naturales.

La unidad es parte del dato

Una fracción no describe una cantidad completa si no sabemos cuál es la unidad. Tres cuartos de una tira y tres cuartos de una tira el doble de larga tienen la misma fracción, pero no la misma longitud absoluta.

Para comparar fracciones hay que representarlas sobre unidades iguales o transformarlas en expresiones equivalentes. Multiplicar numerador y denominador por el mismo número cambia la partición, no el valor.

Fracción irreducible
Es una fracción cuyo numerador y denominador no tienen ningún divisor común mayor que 1. Simplificar hasta esa forma hace visible la relación esencial sin cambiar la cantidad.

Cada operación responde a una estructura

  1. En sumas y restas, busca un denominador común porque solo pueden reunirse o compararse partes del mismo tamaño.
  2. En productos, multiplica numeradores y denominadores; simplifica antes o después si existen factores comunes.
  3. En una división, multiplica la primera fracción por el inverso de la segunda fracción; no se altera el orden.
  4. Simplifica el resultado y conserva el signo si aparecen fracciones negativas.
  5. Estima: multiplicar por una fracción menor que 1 reduce una cantidad positiva; dividir entre ella la aumenta.

Restar partes de distinto tamaño

Calcula 5/6 − 1/4.

  1. El m.c.m. de 6 y 4 es 12, que usaremos como denominador común.
  2. 5/6 = 10/12 y 1/4 = 3/12.
  3. Restamos partes del mismo tamaño: 10/12 − 3/12 = 7/12.
  4. El resultado está entre 1/2 y 2/3, coherente con 0,83 − 0,25, aproximadamente 0,58.

5/6 − 1/4 = 7/12.

Multiplicar y dividir no son la misma instrucción

  • Producto

    3/4 × 2/3 representa dos tercios de tres cuartos y da 6/12 = 1/2.

  • Cociente

    3/4 : 2/3 pregunta cuántos grupos de 2/3 caben en 3/4: 3/4 × 3/2 = 9/8.

Sumar numeradores y denominadores

3/4 + 2/3 = 5/7.

Se buscan doceavos: 3/4 = 9/12 y 2/3 = 8/12; la suma es 17/12.

Sumar 3 piezas de tamaño cuarto y 2 de tamaño tercio no produce 5 piezas de tamaño séptimo. Antes hay que expresar todas las piezas con el mismo tamaño.

Compara las dos tiras

Dos cuadrículas iguales de cuatro columnas y tres filas: la superior colorea nueve de doce celdas y se etiqueta 3/4; la inferior colorea ocho y se etiqueta 2/3.
Una partición común permite comparar 3/4 = 9/12 y 2/3 = 8/12.

Observa la ilustración y anticipa una respuesta antes de calcular.

¿Qué cuadrícula colorea una parte mayor y cuánta diferencia hay entre ellas?

Explica qué dato visual utilizas y qué parte necesita todavía un cálculo.

Comprobar la predicción

En doceavos, 3/4=9/12 y 2/3=8/12; la diferencia es 1/12.

Compara con unidad común

Relaciona cada pareja con su comparación justificada.

Solución accesible sin interacción

Respuesta: 5/6 y 3/4 → 5/6 > 3/4 porque 10/12 > 9/12; 2/5 y 4/10 → Son equivalentes; 7/8 y 5/6 → 7/8 > 5/6 porque 21/24 > 20/24

Un denominador común permite comparar numeradores sobre la misma unidad.

Opera con denominador común

¿Cuál es 3/4+5/6?

Elige una respuesta

Solución accesible sin interacción

Respuesta: 19/12 — Para sumar necesito partes del mismo tamaño: tres cuartos son nueve doceavos y cinco sextos son diez doceavos. Sumo los numeradores y obtengo 19/12.

La suma exige partes equivalentes antes de sumar numeradores.

Comprueba una división

Se calcula 5/6÷2/3. Localiza el primer error.

Elige una respuesta

Solución accesible sin interacción

Respuesta: Se divide numerador entre numerador y denominador entre denominador: 10/18. → Se multiplica por el inverso de la segunda: 5/6×3/2=15/12=5/4.

Dividir por una fracción equivale a multiplicar por su inversa.

Controla una cantidad fraccionaria

Un depósito está lleno a 3/4. Se usa 2/3 de esa cantidad. Calcula lo usado, lo que queda y comprueba si lo usado es mayor que lo restante.

Solución accesible sin interacción
  • Representa todo respecto de la misma unidad.
  • Elige producto y resta en el orden correcto.
  • Simplifica y recompone el total inicial.

Respuesta: Se usa 1/2; queda 1/4; lo usado es mayor.

2/3×3/4=6/12=1/2. Después 3/4−1/2=3/4−2/4=1/4. La suma 1/2+1/4=3/4 recupera el estado inicial y 1/2>1/4.

  • Compara siempre sobre la misma unidad.
  • Equivalencia y común denominador conservan el valor.
  • Dividir significa multiplicar por el inverso de la segunda fracción.
  • Simplificar y estimar permiten detectar errores de operación u orden.

Compruébalo ahora

  1. Ver la ilustración

    Usa las dos cuadrículas de doce partes para decidir qué fracción es mayor, 3/4 o 2/3, y calcula la diferencia.

    Ver solución explicada

    Respuesta: 3/4 es mayor; la diferencia es 1/12

    3/4 = 9/12 y 2/3 = 8/12. Nueve doceavos supera a ocho doceavos en 1/12.

  2. Ver la ilustración

    Calcula qué parte de la unidad representa 2/3 de la zona 3/4 de la cuadrícula superior.

    Ver solución explicada

    Respuesta: 1/2

    Se calcula 2/3 × 3/4 = 6/12 = 1/2. El resultado es menor que 3/4, como debe ocurrir al tomar dos tercios de esa cantidad.

  3. Ver la ilustración

    Divide la cantidad superior entre la inferior: 3/4 : 2/3. Da el resultado irreducible y explica si debe ser mayor o menor que 1.

    Ver solución explicada

    Respuesta: 9/8, mayor que 1

    3/4 × 3/2 = 9/8. Como la cantidad superior es mayor que la inferior, cabe un grupo completo y una parte más; por eso el cociente supera 1.

Alineación curricular y fuentes