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Variables aleatorias y distribuciones binomial y normal

2.º de BachilleratoRuta de edumaterial

Qué vas a aprender

  • Distinguir variable aleatoria discreta de variable aleatoria continua.
  • Reconocer y calcular probabilidades y parámetros de una distribución binomial.
  • Interpretar una distribución normal y tipificar observaciones.

Antes de empezar

  • Calcular probabilidades de sucesos independientes.
  • Operar con potencias y combinaciones.
  • Interpretar media y desviación típica.

El tipo de variable decide el modelo

Una variable aleatoria discreta toma valores aislados que pueden enumerarse, como el número de éxitos. Una variable aleatoria continua puede tomar cualquier valor de un intervalo, como un tiempo o una longitud.

Una distribución asigna probabilidad a esos valores o intervalos. Sus parámetros resumen centro y dispersión, pero no sustituyen la forma del modelo.

Distribución binomial
X sigue una binomial B(n,p) si cuenta éxitos en n ensayos independientes, cada ensayo tiene dos resultados y la probabilidad de éxito p permanece constante. Entonces P(X=k)=C(n,k)p^k(1−p)^(n−k), media np y varianza np(1−p).

Reconocer y usar cada distribución

  1. Identifica si la variable cuenta valores aislados o mide un continuo.
  2. Para una binomial, comprueba número fijo de ensayos, independencia, dos resultados y p constante.
  3. Declara los parámetros antes de calcular.
  4. En una normal N(μ,σ), tipifica con z=(x−μ)/σ.
  5. Interpreta el resultado en el contexto y controla si se pide probabilidad puntual o de intervalo.

Dos éxitos en cinco ensayos

En cinco ensayos independientes con p=0,2, calcula P(X=2).

  1. Hay C(5,2)=10 posiciones posibles para los dos éxitos.
  2. La probabilidad de cada patrón es 0,2²·0,8³.
  3. Multiplica: 10·0,04·0,512.

P(X=2)=0,2048.

Masa discreta y densidad continua

  • Variable discreta

    Puede asignar probabilidad positiva a un valor concreto, como X=2 éxitos.

  • Variable continua

    La probabilidad se asigna a intervalos; en un modelo continuo, un único valor exacto tiene probabilidad cero.

Usar la binomial sin independencia

Aplicar B(n,p) aunque la probabilidad cambie tras cada ensayo sin reemplazo.

Comprobar que los ensayos son independientes y que p permanece constante, o elegir otro modelo.

La fórmula binomial incorpora esas condiciones; ignorarlas cambia la distribución real.

  • Discreta enumera; continua mide intervalos.
  • La distribución binomial cuenta éxitos con n y p fijos.
  • Sus parámetros son media np y varianza np(1−p).
  • La distribución normal se centra en μ y usa σ para medir distancias tipificadas.

Comprueba 1: relaciona y justifica

Relaciona cada caso con la conclusión que se deriva de sus datos.

Solución accesible sin interacción

Respuesta: Número de éxitos en 10 ensayos → Variable discreta; Tiempo de espera → Variable continua; Número de llamadas en una hora → Variable discreta

Cada relación se obtiene desde los datos y se comprueba de forma independiente.

Comprueba 2: decide con evidencia

Si X~B(10;0,3), ¿cuáles son su media y varianza?

Elige una respuesta

Solución accesible sin interacción

Respuesta: Media 3; varianza 2,1 — Uso np=3 y np(1−p)=2,1.

np=3 y np(1−p)=10·0,3·0,7=2,1.

Comprueba 3: audita la solución

Audita la tipificación de x=58 en N(50,4), donde 4 es la desviación típica.

Elige una respuesta

Solución accesible sin interacción

Respuesta: Se concluye z=4. → z=8/4=2.

Tipificar divide la diferencia respecto de la media por la desviación típica.

Reto integrador

X cuenta éxitos y sigue B(10;0,3); Y es un tiempo con N(50,4). Clasifica ambas, calcula media y desviación de X, y tipifica Y=58.

Solución accesible sin interacción
  • Integra los tres objetivos y comprueba el resultado desde los datos.

Respuesta: X es discreta, media 3 y desviación √2,1≈1,449; Y es continua y para 58 tiene z=2.

En la binomial np=3 y varianza npq=2,1; en la normal (58−50)/4=2.

Dos paneles comparan barras separadas de una distribución discreta binomial y una curva continua normal con su centro y dispersión señalados.
Las barras asignan masa a recuentos; la curva reparte densidad a lo largo de un continuo.

Compruébalo ahora

  1. Ver la ilustración

    Si X sigue B(5;0,2), calcula P(X=2).

    Ver solución explicada

    Respuesta: 0,2048

    C(5,2)·0,2²·0,8³=10·0,04·0,512=0,2048.

  2. Ver la ilustración

    Para X que sigue B(20;0,3), calcula su media y su desviación típica.

    Ver solución explicada

    Respuesta: Media 6; desviación típica √4,2≈2,05

    La media es np=20·0,3=6 y la desviación es √(np(1−p))=√(20·0,3·0,7)=√4,2.

  3. Ver la ilustración

    En una normal de media 60 y desviación típica 5, tipifica el valor 75.

    Ver solución explicada

    Respuesta: z=3

    z=(75−60)/5=15/5=3; el valor está tres desviaciones típicas por encima de la media.

Alineación curricular y fuentes