Variables aleatorias y distribuciones binomial y normal
2.º de BachilleratoRuta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Distinguir variable aleatoria discreta de variable aleatoria continua.
- Reconocer y calcular probabilidades y parámetros de una distribución binomial.
- Interpretar una distribución normal y tipificar observaciones.
Antes de empezar
- Calcular probabilidades de sucesos independientes.
- Operar con potencias y combinaciones.
- Interpretar media y desviación típica.
El tipo de variable decide el modelo
Una variable aleatoria discreta toma valores aislados que pueden enumerarse, como el número de éxitos. Una variable aleatoria continua puede tomar cualquier valor de un intervalo, como un tiempo o una longitud.
Una distribución asigna probabilidad a esos valores o intervalos. Sus parámetros resumen centro y dispersión, pero no sustituyen la forma del modelo.
- Distribución binomial
- X sigue una binomial B(n,p) si cuenta éxitos en n ensayos independientes, cada ensayo tiene dos resultados y la probabilidad de éxito p permanece constante. Entonces P(X=k)=C(n,k)p^k(1−p)^(n−k), media np y varianza np(1−p).
Reconocer y usar cada distribución
- Identifica si la variable cuenta valores aislados o mide un continuo.
- Para una binomial, comprueba número fijo de ensayos, independencia, dos resultados y p constante.
- Declara los parámetros antes de calcular.
- En una normal N(μ,σ), tipifica con z=(x−μ)/σ.
- Interpreta el resultado en el contexto y controla si se pide probabilidad puntual o de intervalo.
Dos éxitos en cinco ensayos
En cinco ensayos independientes con p=0,2, calcula P(X=2).
- Hay C(5,2)=10 posiciones posibles para los dos éxitos.
- La probabilidad de cada patrón es 0,2²·0,8³.
- Multiplica: 10·0,04·0,512.
P(X=2)=0,2048.
Masa discreta y densidad continua
- Variable discreta
Puede asignar probabilidad positiva a un valor concreto, como X=2 éxitos.
- Variable continua
La probabilidad se asigna a intervalos; en un modelo continuo, un único valor exacto tiene probabilidad cero.
Usar la binomial sin independencia
Aplicar B(n,p) aunque la probabilidad cambie tras cada ensayo sin reemplazo.
Comprobar que los ensayos son independientes y que p permanece constante, o elegir otro modelo.
La fórmula binomial incorpora esas condiciones; ignorarlas cambia la distribución real.
- Discreta enumera; continua mide intervalos.
- La distribución binomial cuenta éxitos con n y p fijos.
- Sus parámetros son media np y varianza np(1−p).
- La distribución normal se centra en μ y usa σ para medir distancias tipificadas.
Compruébalo ahora
Si X sigue B(5;0,2), calcula P(X=2).
Ver solución explicada
Respuesta: 0,2048
C(5,2)·0,2²·0,8³=10·0,04·0,512=0,2048.
Para X que sigue B(20;0,3), calcula su media y su desviación típica.
Ver solución explicada
Respuesta: Media 6; desviación típica √4,2≈2,05
La media es np=20·0,3=6 y la desviación es √(np(1−p))=√(20·0,3·0,7)=√4,2.
En una normal de media 60 y desviación típica 5, tipifica el valor 75.
Ver solución explicada
Respuesta: z=3
z=(75−60)/5=15/5=3; el valor está tres desviaciones típicas por encima de la media.
Alineación curricular y fuentes
- Matemáticas II · 2.º de Bachillerato · sentido estocástico: variable aleatoria discreta y continua, distribución binomial, distribución normal y parámetros; secuenciación propia · Real Decreto 243/2022, currículo básico de Bachillerato
Cuando lo tengas claro
Probabilidad condicionada, total y BayesIntegrales: acumulación, áreas y volúmenes