Probabilidad condicionada, total y Bayes
2.º de BachilleratoRuta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Calcular e interpretar probabilidad condicionada en experimentos compuestos.
- Organizar datos mediante diagrama de árbol o tabla de contingencia.
- Aplicar independencia, teorema de la probabilidad total y teorema de Bayes.
Antes de empezar
- Operar con fracciones, decimales y porcentajes.
- Interpretar intersección y unión de sucesos.
- Construir espacios muestrales sencillos.
Condicionar cambia el universo de referencia
P(A|B) mide la probabilidad de A sabiendo que ha ocurrido B. Los casos posibles quedan restringidos a B, por eso P(A|B)=P(A∩B)/P(B) cuando P(B)>0.
En experimentos compuestos, multiplicar a lo largo de una rama calcula una intersección y sumar ramas incompatibles reúne caminos alternativos.
- Independencia
- A y B son independientes si conocer B no cambia la probabilidad de A: P(A|B)=P(A). De forma equivalente, P(A∩B)=P(A)·P(B). No debe confundirse independencia con sucesos incompatibles.
Elegir árbol o tabla y leerlo bien
- Define sucesos y anota si los porcentajes son conjuntos o condicionados.
- Usa un diagrama de árbol para etapas sucesivas y una tabla de contingencia para clasificaciones cruzadas.
- Multiplica probabilidades condicionadas a lo largo de cada rama.
- Aplica el teorema de la probabilidad total sumando las ramas que llevan al dato observado.
- Para invertir la pregunta, divide la rama conjunta entre el total observado mediante el teorema de Bayes.
De las máquinas al origen de una pieza defectuosa
M1 fabrica el 60 % y falla el 5 %; M2 fabrica el 40 % y falla el 2 %.
- Rama M1 y defecto: 0,60·0,05=0,030.
- Rama M2 y defecto: 0,40·0,02=0,008.
- Probabilidad total de defecto: 0,030+0,008=0,038.
- Bayes: P(M1|defecto)=0,030/0,038.
P(defecto)=0,038 y P(M1|defecto)=15/19≈0,7895.
Árbol y tabla de contingencia
- Diagrama de árbol
Expone el orden de etapas y las probabilidades condicionadas de cada rama.
- Tabla de contingencia
Cruza dos clasificaciones y facilita leer totales, intersecciones y condicionadas cuando hay frecuencias.
Intercambiar la condición
Suponer que P(A|B)=P(B|A).
Escribir en palabras qué se sabe y qué se pregunta antes de usar la fórmula.
Ambas probabilidades comparten la intersección en el numerador, pero dividen entre sucesos distintos.
- Condicionar restringe los casos posibles.
- La independencia significa que la condición no altera la probabilidad.
- El teorema de la probabilidad total suma caminos completos.
- El teorema de Bayes invierte causa y evidencia con el total como denominador.
Compruébalo ahora
Si P(A∩B)=0,12 y P(B)=0,40, calcula P(A|B).
Ver solución explicada
Respuesta: 0,30
P(A|B)=0,12/0,40=0,30.
M1 produce el 60 % con un 5 % de defectos y M2 el 40 % con un 2 %. Calcula P(defecto).
Ver solución explicada
Respuesta: 0,038 o 3,8 %
Por probabilidad total: 0,60·0,05+0,40·0,02=0,030+0,008=0,038.
Con los datos anteriores, si una pieza es defectuosa, calcula la probabilidad de que proceda de M1.
Ver solución explicada
Respuesta: 15/19≈0,7895 o 78,95 %
Por Bayes, se divide la rama M1 y defecto, 0,030, entre el total de defectos, 0,038.
Alineación curricular y fuentes
- Matemáticas II · 2.º de Bachillerato · sentido estocástico: experimentos compuestos, probabilidad condicionada, independencia, probabilidad total y Bayes; secuenciación propia · Real Decreto 243/2022, currículo básico de Bachillerato
Cuando lo tengas claro
Variables aleatorias y distribuciones binomial y normalMatrices y determinantes: operar, representar y decidir