2.º de BachilleratoRuta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Calcular e interpretar probabilidad condicionada en experimentos compuestos.
- Organizar datos mediante diagrama de árbol o tabla de contingencia.
- Aplicar independencia, teorema de la probabilidad total y teorema de Bayes.
Antes de empezar
- Operar con fracciones, decimales y porcentajes.
- Interpretar intersección y unión de sucesos.
- Construir espacios muestrales sencillos.
Condicionar cambia el universo de referencia
P(A|B) mide la probabilidad de A sabiendo que ha ocurrido B. Los casos posibles quedan restringidos a B, por eso P(A|B)=P(A∩B)/P(B) cuando P(B)>0.
En experimentos compuestos, multiplicar a lo largo de una rama calcula una intersección y sumar ramas incompatibles reúne caminos alternativos.
- Independencia
- A y B son independientes si conocer B no cambia la probabilidad de A: P(A|B)=P(A). De forma equivalente, P(A∩B)=P(A)·P(B). No debe confundirse independencia con sucesos incompatibles.
Elegir árbol o tabla y leerlo bien
- Define sucesos y anota si los porcentajes son conjuntos o condicionados.
- Usa un diagrama de árbol para etapas sucesivas y una tabla de contingencia para clasificaciones cruzadas.
- Multiplica probabilidades condicionadas a lo largo de cada rama.
- Aplica el teorema de la probabilidad total sumando las ramas que llevan al dato observado.
- Para invertir la pregunta, divide la rama conjunta entre el total observado mediante el teorema de Bayes.
De las máquinas al origen de una pieza defectuosa
M1 fabrica el 60 % y falla el 5 %; M2 fabrica el 40 % y falla el 2 %.
- Rama M1 y defecto: 0,60·0,05=0,030.
- Rama M2 y defecto: 0,40·0,02=0,008.
- Probabilidad total de defecto: 0,030+0,008=0,038.
- Bayes: P(M1|defecto)=0,030/0,038.
P(defecto)=0,038 y P(M1|defecto)=15/19≈0,7895.
Árbol y tabla de contingencia
- Diagrama de árbol
Expone el orden de etapas y las probabilidades condicionadas de cada rama.
- Tabla de contingencia
Cruza dos clasificaciones y facilita leer totales, intersecciones y condicionadas cuando hay frecuencias.
Intercambiar la condición
Suponer que P(A|B)=P(B|A).
Escribir en palabras qué se sabe y qué se pregunta antes de usar la fórmula.
Ambas probabilidades comparten la intersección en el numerador, pero dividen entre sucesos distintos.
- Condicionar restringe los casos posibles.
- La independencia significa que la condición no altera la probabilidad.
- El teorema de la probabilidad total suma caminos completos.
- El teorema de Bayes invierte causa y evidencia con el total como denominador.
Comprueba 1: relaciona y justificaPrueba otro caso
Relaciona cada caso con la conclusión que se deriva de sus datos.
Relaciona el nuevo lote con conclusiones distintas.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: P(A∩B)=0,2; P(B)=0,5 → P(A|B)=0,4; A y B independientes; P(A)=0,3 → P(A|B)=0,3; A⊂B y P(B)>0 → P(A|B)=P(A)/P(B)
Cada relación se obtiene desde los datos y se comprueba de forma independiente.
Respuesta: P(C∩D)=0,18; P(D)=0,6 → P(C|D)=0,3; C y D independientes; P(C)=0,7 → P(C|D)=0,7; C y D incompatibles; P(D)>0 → P(C|D)=0
Cada relación se obtiene desde los datos y se comprueba de forma independiente.
Comprueba 2: decide con evidenciaPrueba otro caso
Una fuente se divide en M1/M2 y cada una en correcta/defectuosa. ¿Qué organización conserva probabilidades por etapas?
Dos variables categóricas se observan en una muestra. ¿Qué organización muestra frecuencias conjuntas y marginales?
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Árbol con ramas M1/M2 y luego correcta/defectuosa — Las ramas guardan la fuente y, después, la condición de cada resultado.
El árbol conserva el origen y la condición de la segunda etapa.
Respuesta: Tabla de contingencia — La tabla cruza las dos categorías y permite sumar filas y columnas.
La tabla cruza ambas categorías y permite sumar marginales.
Comprueba 3: audita la soluciónPrueba otro caso
M1 produce 60% con 5% de defectos y M2 40% con 2%. Audita P(M1|D).
M1 produce 70% con 4% de defectos y M2 30% con 10%. Audita P(M2|D).
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Se divide 0,038/0,03 y se obtiene 1,2667. → Bayes divide 0,03/0,038=15/19≈0,7895.
El numerador es la rama conjunta y el denominador el total del defecto.
Respuesta: Se afirma P(M2|D)=0,058/0,03. → P(M2|D)=0,03/0,058=15/29≈0,5172.
La probabilidad posterior no puede superar 1.
Reto integrador
M1 produce el 70% con 4% de defectos y M2 el 30% con 10%. Organiza el árbol, calcula P(D) y P(M1|D).
Solución accesible sin interacción
- Integra los tres objetivos y comprueba el resultado desde los datos.
Respuesta: Las ramas defectuosas son 0,028 y 0,030; P(D)=0,058 y P(M1|D)=0,028/0,058=14/29≈0,4828.
La suma total es 0,058 y las posteriores M1/M2 son 14/29 y 15/29, que suman 1.
Compruébalo ahora
Si P(A∩B)=0,12 y P(B)=0,40, calcula P(A|B).
Ver solución explicada
Respuesta: 0,30
P(A|B)=0,12/0,40=0,30.
M1 produce el 60 % con un 5 % de defectos y M2 el 40 % con un 2 %. Calcula P(defecto).
Ver solución explicada
Respuesta: 0,038 o 3,8 %
Por probabilidad total: 0,60·0,05+0,40·0,02=0,030+0,008=0,038.
Con los datos anteriores, si una pieza es defectuosa, calcula la probabilidad de que proceda de M1.
Ver solución explicada
Respuesta: 15/19≈0,7895 o 78,95 %
Por Bayes, se divide la rama M1 y defecto, 0,030, entre el total de defectos, 0,038.
Alineación curricular y fuentes
- Matemáticas II · 2.º de Bachillerato · sentido estocástico: experimentos compuestos, probabilidad condicionada, independencia, probabilidad total y Bayes; secuenciación propia · Real Decreto 243/2022, currículo básico de Bachillerato