2.º de BachilleratoRuta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Reconocer familias de primitivas y aplicar reglas básicas de integración.
- Calcular integrales definidas y áreas de superficies planas entre curvas.
- Modelizar volúmenes de revolución mediante secciones circulares.
Antes de empezar
- Calcular derivadas de funciones elementales.
- Representar funciones y localizar intersecciones.
- Operar con potencias y fracciones.
La integral definida acumula con signo
Una primitiva F de f cumple F′=f. Todas las primitivas de la misma función se diferencian en una constante.
La integral definida entre a y b es un número que acumula valores con signo. Solo coincide directamente con un área geométrica cuando la función no es negativa en el intervalo.
- Regla de Barrow
- Si F es una primitiva de una función continua f en [a,b], entonces la integral definida de f entre a y b es F(b)−F(a). La constante de integración se cancela en la resta.
Del dibujo a una integral de área
- Representa o compara las curvas y encuentra sus intersecciones.
- Divide el intervalo si cambia cuál función queda arriba o si una curva cruza el eje.
- Integra función superior menos inferior en cada tramo.
- Suma cantidades no negativas si se pide área geométrica.
- Comprueba unidades cuadradas y coherencia con la gráfica.
Acumulación de una potencia
Calcula la integral de 3x² entre 0 y 2.
- Una primitiva de 3x² es F(x)=x³.
- Aplica la regla de Barrow: F(2)−F(0).
- Evalúa 2³−0³.
La integral definida vale 8.
Área plana y volumen de revolución
- Entre dos curvas
Se acumula una altura: función superior menos función inferior; el resultado tiene unidades cuadradas.
- Al girar alrededor del eje x
Con discos, se acumula π·radio²; el resultado tiene unidades cúbicas.
Confundir integral con área siempre positiva
Aceptar una integral negativa como área geométrica negativa.
Separar los tramos donde cambia el signo y sumar sus áreas positivas.
La integral definida conserva orientación algebraica; el área geométrica no puede ser negativa.
- Integrar revierte la derivación salvo una constante.
- La regla de Barrow evalúa una primitiva en los extremos.
- Las áreas entre curvas requieren ordenar y, a veces, dividir tramos.
- Los volúmenes de revolución acumulan áreas de secciones circulares.
Comprueba 1: relaciona y justificaPrueba otro caso
Relaciona cada caso con la conclusión que se deriva de sus datos.
Relaciona el nuevo lote con conclusiones distintas.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: f(x)=2x → F(x)=x²+C; f(x)=3x² → F(x)=x³+C; f(x)=1 → F(x)=x+C
Cada relación se obtiene desde los datos y se comprueba de forma independiente.
Respuesta: f(x)=4x³ → F(x)=x⁴+C; f(x)=6x → F(x)=3x²+C; f(x)=5 → F(x)=5x+C
Cada relación se obtiene desde los datos y se comprueba de forma independiente.
Comprueba 2: decide con evidenciaPrueba otro caso
¿Cuál es el área entre y=x e y=x² en [0,1]?
¿Cuál es el área entre y=2x e y=x² en [0,2]?
Solución accesible sin interacción
Respuesta: 1/6 — Integro la curva superior menos la inferior: 1/2−1/3.
En [0,1], x≥x² y ∫(x−x²)=1/2−1/3=1/6.
Respuesta: 4/3 — Integro 2x−x²: cuatro menos ocho tercios.
En [0,2], 2x≥x² y ∫(2x−x²)=4−8/3=4/3.
Comprueba 3: audita la soluciónPrueba otro caso
Audita el volumen al girar y=x, 0≤x≤1, alrededor del eje x.
Audita el giro de y=2x, 0≤x≤1, alrededor del eje x.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Se integra πx y se obtiene π/2. → Debe integrarse πx²; el volumen es π/3.
El método de discos integra áreas circulares, no radios.
Respuesta: Se afirma que el volumen es 2π/3. → La integral de 4πx² entre 0 y 1 vale 4π/3.
Hay que conservar el cuadrado del radio.
Reto integrador
Para la región bajo y=x entre 0 y 2, halla una primitiva, el área y el volumen al girarla alrededor del eje x.
Solución accesible sin interacción
- Integra los tres objetivos y comprueba el resultado desde los datos.
Respuesta: Una primitiva es x²/2+C; el área es 2 y el volumen por discos es 8π/3.
[x²/2]₀²=2; π∫₀²x²dx=π[x³/3]₀²=8π/3.
Compruébalo ahora
Calcula la integral definida de 3x² entre 0 y 2.
Ver solución explicada
Respuesta: 8
Una primitiva es x³ y la regla de Barrow da 2³−0³=8.
Calcula el área encerrada entre y=x e y=x² desde x=0 hasta x=1.
Ver solución explicada
Respuesta: 1/6 unidades cuadradas
En [0,1], x está sobre x². La integral de x−x² es [x²/2−x³/3] de 0 a 1, igual a 1/6.
La región bajo y=x entre 0 y 1 gira alrededor del eje x. Calcula el volumen mediante discos.
Ver solución explicada
Respuesta: π/3 unidades cúbicas
El radio es x; V=π por la integral de x² entre 0 y 1, que vale π·(1/3).
Alineación curricular y fuentes
- Matemáticas II · 2.º de Bachillerato · sentido de la medida: primitivas, integral definida, regla de Barrow, superficies planas y volúmenes de revolución; secuenciación propia · Real Decreto 243/2022, currículo básico de Bachillerato