Matrices y determinantes: operar, representar y decidir
2.º de BachilleratoRuta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Operar con matrices de dimensiones compatibles y explicar por qué el producto no es conmutativo.
- Representar relaciones mediante matrices y grafos sencillos.
- Calcular e interpretar determinantes para estudiar invertibilidad y dependencia.
Antes de empezar
- Resolver operaciones combinadas con números reales.
- Usar coordenadas y tablas de doble entrada.
- Resolver ecuaciones lineales sencillas.
Una matriz conserva la estructura de los datos
Una matriz organiza números en filas y columnas. Sus dimensiones importan: una matriz de m filas y n columnas es de orden m × n.
Sumar matrices exige el mismo orden. Para multiplicar A · B, el número de columnas de A debe coincidir con el de filas de B; el resultado combina cada fila de A con cada columna de B.
- Producto no conmutativo
- En general, A · B y B · A no coinciden, e incluso uno de los dos productos puede no estar definido. Por eso el orden de los factores forma parte de la operación matricial.
Calcular un producto matricial sin perder posiciones
- Comprueba que las dimensiones interiores coinciden.
- Determina el orden del resultado con las dimensiones exteriores.
- Multiplica los elementos de una fila por los de una columna y suma los productos.
- Repite el proceso para cada posición y comprueba el resultado con sus dimensiones.
El orden cambia el producto
Sean A de filas (1,2) y (0,1), y B de filas (2,0) y (3,1).
- En A · B, la primera fila produce (1·2+2·3, 1·0+2·1) = (8,2).
- La segunda produce (0·2+1·3, 0·0+1·1) = (3,1).
- Al invertir el orden se obtiene B · A con filas (2,4) y (3,7).
A · B = ((8,2),(3,1)) y B · A = ((2,4),(3,7)); son distintos.
Determinante e inversa
- det(A) ≠ 0
La matriz cuadrada es invertible y sus filas y columnas son linealmente independientes.
- det(A) = 0
La matriz no tiene inversa y existe dependencia lineal; este dato por sí solo no resuelve un sistema ampliado.
Multiplicar posición por posición
Formar A · B multiplicando cada entrada de A por la entrada que ocupa el mismo lugar en B.
Construir cada entrada mediante el producto escalar de una fila por una columna.
El producto elemento a elemento es otra operación y no representa la composición matricial.
- Las dimensiones deciden qué operaciones están definidas.
- El producto no conmutativo combina filas y columnas.
- Las matrices pueden codificar grafos y otras relaciones.
- Un determinante no nulo caracteriza la invertibilidad de una matriz cuadrada.
Compruébalo ahora
Con A=((1,2),(0,1)) y B=((2,0),(3,1)), calcula A · B y B · A.
Ver solución explicada
Respuesta: A · B=((8,2),(3,1)); B · A=((2,4),(3,7))
Cada entrada se obtiene multiplicando una fila por una columna. Los resultados prueban que el producto no es conmutativo.
Calcula el determinante de la matriz de filas (4,1) y (2,3) e indica si tiene inversa.
Ver solución explicada
Respuesta: det=10; sí tiene inversa
4·3−1·2=10. Como el determinante es distinto de cero, la matriz es invertible.
En un grafo no dirigido con las aristas A—B y B—C, ¿cuál es el grado del nodo B?
- 1
- 2
- 3
Ver solución explicada
Respuesta: 2
B está conectado con A y con C; su fila en la matriz de adyacencia contiene dos unos.
Alineación curricular y fuentes
- Matemáticas II · 2.º de Bachillerato · sentido algebraico: matrices, operaciones, determinantes, algoritmos y grafos como modelos; secuenciación propia · Real Decreto 243/2022, currículo básico de Bachillerato
Cuando lo tengas claro
Sistemas lineales: compatibilidad antes de calcularVectores, rectas y planos en el espacio