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Matrices y determinantes: operar, representar y decidir

2.º de BachilleratoRuta de edumaterial

Qué vas a aprender

  • Operar con matrices de dimensiones compatibles y explicar por qué el producto no es conmutativo.
  • Representar relaciones mediante matrices y grafos sencillos.
  • Calcular e interpretar determinantes para estudiar invertibilidad y dependencia.

Antes de empezar

  • Resolver operaciones combinadas con números reales.
  • Usar coordenadas y tablas de doble entrada.
  • Resolver ecuaciones lineales sencillas.

Una matriz conserva la estructura de los datos

Una matriz organiza números en filas y columnas. Sus dimensiones importan: una matriz de m filas y n columnas es de orden m × n.

Sumar matrices exige el mismo orden. Para multiplicar A · B, el número de columnas de A debe coincidir con el de filas de B; el resultado combina cada fila de A con cada columna de B.

Producto no conmutativo
En general, A · B y B · A no coinciden, e incluso uno de los dos productos puede no estar definido. Por eso el orden de los factores forma parte de la operación matricial.

Calcular un producto matricial sin perder posiciones

  1. Comprueba que las dimensiones interiores coinciden.
  2. Determina el orden del resultado con las dimensiones exteriores.
  3. Multiplica los elementos de una fila por los de una columna y suma los productos.
  4. Repite el proceso para cada posición y comprueba el resultado con sus dimensiones.

El orden cambia el producto

Sean A de filas (1,2) y (0,1), y B de filas (2,0) y (3,1).

  1. En A · B, la primera fila produce (1·2+2·3, 1·0+2·1) = (8,2).
  2. La segunda produce (0·2+1·3, 0·0+1·1) = (3,1).
  3. Al invertir el orden se obtiene B · A con filas (2,4) y (3,7).

A · B = ((8,2),(3,1)) y B · A = ((2,4),(3,7)); son distintos.

Determinante e inversa

  • det(A) ≠ 0

    La matriz cuadrada es invertible y sus filas y columnas son linealmente independientes.

  • det(A) = 0

    La matriz no tiene inversa y existe dependencia lineal; este dato por sí solo no resuelve un sistema ampliado.

Multiplicar posición por posición

Formar A · B multiplicando cada entrada de A por la entrada que ocupa el mismo lugar en B.

Construir cada entrada mediante el producto escalar de una fila por una columna.

El producto elemento a elemento es otra operación y no representa la composición matricial.

  • Las dimensiones deciden qué operaciones están definidas.
  • El producto no conmutativo combina filas y columnas.
  • Las matrices pueden codificar grafos y otras relaciones.
  • Un determinante no nulo caracteriza la invertibilidad de una matriz cuadrada.

Comprueba 1: relaciona y justifica

Relaciona cada caso con la conclusión que se deriva de sus datos.

Solución accesible sin interacción

Respuesta: A es 2×3 y B es 3×1 → A·B está definido y es 2×1; A y B son 2×2 → A+B está definido y es 2×2; A es 2×3 y C es 2×2 → A·C no está definido

Cada relación se obtiene desde los datos y se comprueba de forma independiente.

Comprueba 2: decide con evidencia

Un grafo no dirigido tiene aristas A—B y B—C. ¿Qué fila de adyacencia corresponde a B, en orden A,B,C?

Elige una respuesta

Solución accesible sin interacción

Respuesta: (1,0,1) — B se une a A y C, sin lazo en B.

B conecta con A y C, pero no consigo mismo.

Comprueba 3: audita la solución

Audita la invertibilidad de la matriz con filas (2,1) y (4,2).

Elige una respuesta

Solución accesible sin interacción

Respuesta: Se concluye que la matriz tiene inversa. → Con determinante 0, la matriz no tiene inversa.

Ser cuadrada es necesario, pero det≠0 es lo que garantiza la inversa.

Reto integrador

Sea M=((0,1,1),(1,0,0),(1,0,0)), matriz de adyacencia de un grafo no dirigido. Halla el grado de cada nodo, calcula M² y decide si M es invertible.

Solución accesible sin interacción
  • Integra los tres objetivos y comprueba el resultado desde los datos.

Respuesta: Los grados son (2,1,1); M²=((2,0,0),(0,1,1),(0,1,1)); det(M)=0 y M no es invertible.

Las sumas de filas dan los grados; el producto fila-columna da M² y las filas segunda y tercera de M coinciden, luego el determinante es 0.

Tres paneles muestran el cruce de una fila con una columna, un paralelogramo asociado a un determinante y un grafo de tres nodos junto a su matriz de adyacencia.
Operar, medir una transformación y representar conexiones son tres usos distintos de las matrices.

Compruébalo ahora

  1. Ver la ilustración

    Con A=((1,2),(0,1)) y B=((2,0),(3,1)), calcula A · B y B · A.

    Ver solución explicada

    Respuesta: A · B=((8,2),(3,1)); B · A=((2,4),(3,7))

    Cada entrada se obtiene multiplicando una fila por una columna. Los resultados prueban que el producto no es conmutativo.

  2. Ver la ilustración

    Calcula el determinante de la matriz de filas (4,1) y (2,3) e indica si tiene inversa.

    Ver solución explicada

    Respuesta: det=10; sí tiene inversa

    4·3−1·2=10. Como el determinante es distinto de cero, la matriz es invertible.

  3. Ver la ilustración

    En un grafo no dirigido con las aristas A—B y B—C, ¿cuál es el grado del nodo B?

    • 1
    • 2
    • 3
    Ver solución explicada

    Respuesta: 2

    B está conectado con A y con C; su fila en la matriz de adyacencia contiene dos unos.

Alineación curricular y fuentes