Sistemas lineales: compatibilidad antes de calcular
2.º de BachilleratoRuta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Traducir un sistema de ecuaciones lineales a matriz de coeficientes y matriz ampliada.
- Determinar la compatibilidad mediante determinantes, rangos o eliminación.
- Elegir y aplicar un método de resolución adecuado al caso.
Antes de empezar
- Operar con matrices y calcular determinantes.
- Resolver ecuaciones lineales.
- Interpretar una ecuación como restricción simultánea.
Discutir evita aplicar una receta imposible
Un sistema puede ser compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible. Antes de resolver conviene saber si habrá una solución, infinitas o ninguna.
La matriz A contiene los coeficientes y la ampliada A* añade los términos independientes. Comparar sus rangos separa los tres casos.
- Criterio de compatibilidad
- Si rango(A)=rango(A*)=número de incógnitas, hay una solución. Si los rangos son iguales pero menores, hay infinitas. Si rango(A)≠rango(A*), el sistema es incompatible.
Discutir y resolver con orden
- Escribe A y A* respetando el mismo orden de incógnitas.
- Si A es cuadrada y det(A)≠0, concluye solución única.
- Si det(A)=0 o el sistema no es cuadrado, escalona y compara rangos.
- Elige sustitución, eliminación de Gauss, matriz inversa o Cramer solo cuando sus condiciones se cumplen.
- Sustituye la solución en todas las ecuaciones originales.
Dos ecuaciones que se cruzan una vez
Resuelve x+y=5 y x−y=1.
- Suma las ecuaciones: 2x=6, luego x=3.
- Sustituye en x+y=5: y=2.
- Comprueba: 3+2=5 y 3−2=1.
El sistema es compatible determinado y su solución es (3,2).
Mismo lado izquierdo, información distinta
- Ecuación repetida
x+2y=4 y 2x+4y=8 describen la misma recta: infinitas soluciones.
- Contradicción
x+y=2 y x+y=5 exigen dos valores distintos para la misma expresión: ninguna solución.
Usar Cramer cuando el determinante es cero
Dividir determinantes entre det(A)=0.
Cuando det(A)=0, estudiar rangos o escalonar la matriz ampliada.
Un denominador nulo impide la regla de Cramer y no distingue entre infinitas soluciones y ninguna.
- La compatibilidad se decide antes de resolver.
- Determinante no nulo en un sistema cuadrado implica solución única.
- Los rangos separan los casos indeterminado e incompatible.
- Toda solución debe comprobarse en el sistema original.
Compruébalo ahora
Resuelve x+y=5, x−y=1.
Ver solución explicada
Respuesta: x=3, y=2
Al sumar se obtiene 2x=6. Sustituir x=3 da y=2, y ambos valores satisfacen las dos ecuaciones.
Clasifica x+2y=4, 2x+4y=8.
- Compatible determinado
- Compatible indeterminado
- Incompatible
Ver solución explicada
Respuesta: Compatible indeterminado
La segunda ecuación es el doble de la primera; representan la misma recta y admiten infinitas soluciones.
Clasifica x+y=2, x+y=5.
- Compatible determinado
- Compatible indeterminado
- Incompatible
Ver solución explicada
Respuesta: Incompatible
El mismo primer miembro no puede valer a la vez 2 y 5; las rectas son paralelas distintas.
Alineación curricular y fuentes
- Matemáticas II · 2.º de Bachillerato · sentido algebraico: sistemas de ecuaciones lineales, discusión de compatibilidad y algoritmos de resolución; secuenciación propia · Real Decreto 243/2022, currículo básico de Bachillerato
Cuando lo tengas claro
Matrices y determinantes: operar, representar y decidirVectores, rectas y planos en el espacio