2.º de BachilleratoRuta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Calcular vectores, módulos, productos escalares y distancias en tres dimensiones.
- Relacionar ecuaciones vectoriales, paramétricas e implícitas de rectas y planos.
- Estudiar posiciones relativas y perpendicularidad con vectores directores y normales.
Antes de empezar
- Operar con coordenadas y vectores del plano.
- Resolver sistemas lineales.
- Aplicar el teorema de Pitágoras.
La ecuación debe conservar la geometría
Un vector director fija la orientación de una recta. Un vector normal es perpendicular a un plano y aparece en su ecuación implícita ax+by+cz=d.
En tres dimensiones, dos rectas pueden cortarse, ser paralelas, coincidir o cruzarse sin compartir punto ni dirección.
- Recta y plano
- Una recta queda determinada por un punto y un vector director no nulo. Un plano queda determinado, por ejemplo, por un punto y un vector normal no nulo, o por un punto y dos direcciones no paralelas.
Estudiar una posición relativa
- Extrae los vectores directores o normales de las ecuaciones.
- Comprueba si son proporcionales o si su producto escalar es cero cuando buscas perpendicularidad.
- Plantea el sistema que exige compartir puntos.
- Interpreta el número de soluciones y calcula ángulo o distancia solo después de identificar el caso.
De dos puntos a una distancia
Sean A=(1,2,3) y B=(4,6,3).
- Resta coordenadas: AB=(4−1,6−2,3−3)=(3,4,0).
- Calcula el módulo: √(3²+4²+0²).
- La raíz de 25 es 5.
La distancia entre A y B es 5 unidades.
Paralelas y cruzadas
- Rectas paralelas
Sus vectores directores son proporcionales; si no comparten punto, permanecen a distancia constante.
- Rectas cruzadas
Sus direcciones no son proporcionales y el sistema para hallar un punto común es incompatible.
Confundir vector normal con vector director
Usar (a,b,c) como dirección de la recta contenida en el plano ax+by+cz=d.
Reconocer (a,b,c) como normal al plano; cualquier dirección contenida debe ser perpendicular a él.
La ecuación implícita codifica ortogonalidad respecto del vector normal.
- Los vectores en el espacio describen desplazamientos y orientaciones.
- Una recta usa dirección; un plano puede usar normal.
- Productos escalares nulos detectan perpendicularidad entre vectores no nulos.
- La compatibilidad de ecuaciones determina las posiciones relativas.
Comprueba 1: relaciona y justificaPrueba otro caso
Relaciona cada caso con la conclusión que se deriva de sus datos.
Relaciona el nuevo lote con conclusiones distintas.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: A=(1,2,3), B=(3,2,3) → AB=(2,0,0), distancia 2; u=(1,2,2) → |u|=3; u=(1,0,1), v=(1,0,−1) → u·v=0
Cada relación se obtiene desde los datos y se comprueba de forma independiente.
Respuesta: A=(0,1,1), B=(0,4,5) → AB=(0,3,4), distancia 5; u=(2,−1,2) → |u|=3; u=(1,1,0), v=(1,−1,0) → u·v=0
Cada relación se obtiene desde los datos y se comprueba de forma independiente.
Comprueba 2: decide con evidenciaPrueba otro caso
¿Qué punto pertenece al plano x+2y−z=3?
¿Qué punto pertenece al plano 2x−y+z=4?
Solución accesible sin interacción
Respuesta: (1,1,0) — Al sustituir obtengo 1+2−0=3.
1+2·1−0=3.
Respuesta: (2,1,1) — Sustituyo y obtengo 4−1+1=4.
El punto (2,1,1) cumple 4−1+1=4. En (1,1,1) se obtiene 2; en (0,4,0), −4. Por tanto, (2,1,1) es el único punto de estas opciones que pertenece al plano.
Comprueba 3: audita la soluciónPrueba otro caso
Audita la relación entre la recta de director u=(1,1,0) y el plano de normal n=(1,−1,0).
Audita la relación entre u=(2,0,0) y el plano de normal n=(1,0,0).
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Se concluye que la recta es perpendicular al plano. → La recta es paralela al plano (o está contenida, según un punto).
Una recta perpendicular al plano tendría director paralelo a la normal.
Respuesta: Se concluye que la recta es paralela al plano. → La recta es perpendicular al plano.
Director paralelo a la normal implica perpendicularidad con el plano.
Reto integrador
La recta pasa por A=(1,0,2) con director u=(2,1,2). Estudia su relación con el plano x+y+z=6 y halla el punto de corte.
Solución accesible sin interacción
- Integra los tres objetivos y comprueba el resultado desde los datos.
Respuesta: u·n=5≠0, por lo que corta al plano; con (1+2t)+t+(2+2t)=6 se obtiene t=3/5 y P=(11/5,3/5,16/5).
El punto hallado pertenece a la recta y 11/5+3/5+16/5=6.
Compruébalo ahora
Calcula el vector AB y la distancia entre A=(1,2,3) y B=(4,6,3).
Ver solución explicada
Respuesta: AB=(3,4,0) y distancia 5
Se restan las coordenadas y se calcula √(3²+4²+0²)=5.
¿Pertenece P=(1,2,3) al plano x+y+z=6?
- Sí
- No
Ver solución explicada
Respuesta: Sí
Al sustituir las coordenadas se obtiene 1+2+3=6.
¿Qué relación angular hay entre u=(1,0,1) y v=(1,0,−1)?
- Son perpendiculares
- Son paralelos
- Forman 60°
Ver solución explicada
Respuesta: Son perpendiculares
u·v=1·1+0·0+1·(−1)=0; al ser no nulos, son perpendiculares.
Alineación curricular y fuentes
- Matemáticas II · 2.º de Bachillerato · sentido de la medida y espacial: vectores en el espacio, rectas y planos, posiciones, ángulos y distancias; secuenciación propia · Real Decreto 243/2022, currículo básico de Bachillerato