5.º de PrimariaRuta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Distinguir relaciones proporcionales de situaciones no proporcionales.
- Resolver una proporción directa mediante reducción a la unidad.
- Relacionar fracción, decimal y porcentaje y calcular porcentajes sencillos.
Antes de empezar
- Multiplicar y dividir números naturales y decimales sencillos.
- Interpretar fracciones equivalentes.
- Comprender que una razón compara dos cantidades.
En una proporción se conserva una comparación multiplicativa
Si 4 cuadernos iguales cuestan 6 €, 8 cuadernos cuestan el doble: 12 €. Al duplicar una cantidad se duplica la otra y el precio por cuaderno permanece constante.
Antes de calcular hay que decidir si la relación es proporcional. El coste de cuadernos iguales sí lo es; la edad y la altura de una persona no mantienen una razón fija.
Reducción a la unidad
- Identifica las dos magnitudes y sus unidades.
- Divide para averiguar cuánto corresponde a una sola unidad.
- Multiplica ese valor por la cantidad buscada.
- Comprueba que al aumentar una magnitud, la otra cambia en la misma proporción.
Situaciones proporcionales y situaciones no proporcionales
- Proporcional
Cada cuaderno tiene el mismo precio: 4 cuestan 6 € y 8 cuestan 12 €. El cociente precio/cantidad es constante.
- No proporcional
Un envío cuesta 2 € fijos más el precio de los objetos. Al duplicar objetos, la tarifa fija no se duplica y el total no conserva la razón.
- Porcentaje
- Es una razón con denominador 100. Así, 25 % = 25/100 = 0,25 = 1/4. Siempre debe indicarse de qué cantidad total se toma ese porcentaje.
Cómo calcular un porcentaje
- Interpreta el total como 100 %.
- Halla el 1 % dividiendo el total entre 100, o usa una fracción conocida.
- Multiplica por el porcentaje pedido.
- Comprueba que un porcentaje menor que 100 % produce una parte menor que el total.
El 25 % de 80
Queremos hallar una cuarta parte de 80.
- 25 % equivale a 25/100 y se simplifica a 1/4.
- Dividimos 80 entre 4.
- 80 : 4 = 20.
El 25 % de 80 es 20.
Aplicar una regla de tres a cualquier pareja
Si a los 5 años medía 110 cm, a los 10 medirá 220 cm.
La edad y la altura no son magnitudes directamente proporcionales.
Que una cantidad aumente cuando otra aumenta no basta. Debe conservarse la misma razón multiplicativa en todos los pares.
¿Se conserva la razón?
Observa la ilustración y anticipa una respuesta antes de calcular.
¿Qué dato confirma que 4 cuadernos por 6 € y 8 por 12 € forman una relación proporcional?
Explica qué dato visual utilizas y qué parte necesita todavía un cálculo.
Comprobar la predicción
Al duplicar la cantidad también se duplica el coste.
Distingue relaciones proporcionalesClasifica otras relaciones
Clasifica cada relación y justifica.
Clasifica y justifica los casos nuevos.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: 3 cuadernos cuestan 4,50 € y 6 cuestan 9 € → Proporcional (La razón por unidad permanece constante.); 3 km cuestan 8 € y 6 km cuestan 11 € por una bajada de bandera fija → No proporcional (Existe una cantidad fija que no se multiplica con la cantidad.); A los 10 años mide 140 cm y a los 20 no mide 280 cm → No proporcional (Al duplicar una magnitud, la otra no se duplica.)
La clasificación queda demostrada por la propiedad indicada en cada caso.
Respuesta: 2 kg cuestan 5 € y 6 kg cuestan 15 € → Proporcional (El valor por unidad es constante.); Un pedido añade 3 € fijos, sea cual sea la cantidad → No proporcional (Un coste fijo impide que el total se multiplique en la misma proporción.); Al duplicar el lado de un cuadrado, su área se multiplica por cuatro → No proporcional (Duplicar la entrada no duplica la salida.)
La variante exige aplicar las mismas definiciones a ejemplos diferentes.
Reduce a la unidadReduce otra relación a la unidad
Ordena los pasos para calcular el precio de 10 cuadernos si 4 cuestan 6 €.
Ordena los pasos para calcular el precio de 14 botellas si 6 cuestan 9 €.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Partir de 4 cuadernos → 6 € → Calcular 6÷4=1,50 € por cuaderno → Calcular 1,50×10=15 €
El orden correcto conserva la dependencia entre los pasos y permite verificar el resultado.
Respuesta: Partir de 6 botellas → 9 € → Calcular 9÷6=1,50 € por botella → Calcular 1,50×14=21 €
La nueva secuencia usa otros datos y debe reconstruirse desde el principio.
Conecta fracción, decimal y porcentajeConecta otros porcentajes
Relaciona cada porcentaje con su representación equivalente.
Relaciona cada porcentaje nuevo con su representación equivalente.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: 25 % → 1/4 = 0,25; 50 % → 1/2 = 0,50; 10 % → 1/10 = 0,10
Cada relación se obtiene aplicando la definición o el cálculo indicado, no por la posición de las opciones.
Respuesta: 75 % → 3/4 = 0,75; 20 % → 1/5 = 0,20; 5 % → 1/20 = 0,05
La variante exige reconstruir las relaciones con los nuevos datos.
Calcula una compra proporcional
Si 4 cuadernos cuestan 6 €, calcula el precio proporcional de 12 y después aplica un descuento del 25 %. Explica por qué la primera relación es proporcional.
Solución accesible sin interacción
- Reduce primero el precio a una unidad.
- Calcula 25 % como una cuarta parte.
- Comprueba que descuento más precio final recuperan 18 €.
Respuesta: Cada cuaderno cuesta 1,50 €; 12 cuestan 18 €; el 25 % son 4,50 € y el precio final es 13,50 €.
6÷4=1,50 y 1,50×12=18, por lo que la razón por unidad es constante. 25 %=1/4; 18÷4=4,50. Finalmente 18−4,50=13,50 €.
- La proporcionalidad directa conserva un cociente constante.
- La reducción a la unidad permite construir cualquier pareja proporcional.
- No toda relación creciente es proporcional.
- Un porcentaje relaciona una parte con un total de cien partes iguales.
Compruébalo ahora
Si se mantiene el precio del puesto, ¿cuánto cuestan 10 cuadernos?
Ver solución explicada
Respuesta: 15 €
Un cuaderno cuesta 6 : 4 = 1,50 €. Diez cuestan 1,50 × 10 = 15 €. La pareja mantiene la misma razón.
Un envío añade 2 € fijos al precio de los cuadernos. ¿Sigue siendo proporcional el coste total al número de cuadernos?
Ver solución explicada
Respuesta: No
La tarifa fija no se multiplica con la cantidad. Al duplicar los cuadernos, el coste total no se duplica exactamente, así que es una situación no proporcional.
La barra tiene una de sus cuatro partes iguales destacada y representa 25 %. ¿Cuántos cuadernos son el 25 % de un lote de 80?
Ver solución explicada
Respuesta: 20 cuadernos
25 % = 1/4. La cuarta parte de 80 se obtiene con 80 : 4 = 20.
Alineación curricular y fuentes
- Matemáticas · tercer ciclo de Primaria · sentido numérico: razonamiento proporcional, porcentajes y relación entre fracciones, decimales y porcentajes; secuenciación editorial de 5.º · Real Decreto 157/2022, currículo básico de Educación Primaria