2.º de BachilleratoRuta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Calcular y representar campos y potenciales creados por masas puntuales o esféricas.
- Resolver balances de trabajo y energía conservando el signo del potencial gravitatorio.
- Deducir velocidades orbitales y de escape en modelos gravitatorios ideales.
Antes de empezar
- Operar con vectores, potencias de diez y raíces cuadradas.
- Aplicar la segunda ley de Newton y la conservación de la energía.
- Distinguir masa, peso, energía y trabajo.
Un campo describe la interacción antes de colocar la masa de prueba
Una masa M modifica el espacio a su alrededor. En cada punto, el vector g indica la fuerza por unidad de masa que experimentaría una masa de prueba positiva: F = m·g. Por eso g se mide en N/kg, equivalentes a m/s², y no es una fuerza.
Para una masa puntual o una esfera vista desde fuera, g = −GM/r² en la dirección radial. El signo vectorial expresa que apunta hacia M. Con varias masas, los campos se suman vectorialmente componente a componente.
Potencial y energía potencial
- Vg y U
- Tomando Vg = 0 en el infinito, el potencial de una masa M es Vg = −GM/r y la energía de una masa m es U = mVg = −GMm/r. El potencial es una propiedad del campo y se suma como escalar; U pertenece al sistema de masas.
Trabajo y desplazamientos entre dos radios
- Elige los puntos A y B y calcula UA y UB con el mismo cero de energía.
- Obtén ΔU = UB − UA.
- El trabajo del campo es Wcampo = −ΔU; si el movimiento es cuasiestático, el trabajo externo mínimo es Wext = ΔU.
- Comprueba el signo: alejar una masa exige aumentar U, que se hace menos negativa.
Subir un satélite
Una masa de 400 kg pasa de r = 1,0·10⁷ m a r = 2,0·10⁷ m alrededor de un astro con GM = 4,0·10¹⁴ m³/s².
- UA = −GMm/rA = −1,60·10¹⁰ J.
- UB = −GMm/rB = −8,00·10⁹ J.
- ΔU = +8,00·10⁹ J.
El campo realiza −8,00·10⁹ J; un agente externo ideal debe aportar +8,00·10⁹ J si no cambia la energía cinética.
Órbita circular y escape
En una órbita circular, la gravedad suministra la aceleración centrípeta: GMm/r² = mv²/r. Así, vorb = √(GM/r). La energía total es E = −GMm/(2r), negativa para una órbita ligada.
La velocidad de escape mínima se obtiene imponiendo energía total cero en el infinito: vesc = √(2GM/r). Es √2 veces la velocidad circular en el mismo radio, bajo el modelo sin rozamiento ni propulsión posterior.
Confundir potencial cero con ausencia de campo
Concluir que si el potencial total vale cero, el campo también vale cero.
Calcula V como suma escalar y g como suma vectorial por separado.
Un valor escalar puede cancelarse mientras quedan componentes vectoriales, o al revés. Además, en gravitación con masas positivas y cero en el infinito, cada contribución al potencial es negativa.
Mapa para resolver
- g describe fuerza por unidad de masa y se suma con vectores.
- Vg y U son negativos con cero en el infinito.
- Wcampo = −ΔU.
- Las órbitas circulares y el escape son consecuencias diferentes del balance dinámico y energético.
Campo y superposición gravitatoriaPrueba otro caso
Dos masas, una GRANDE y otra pequeña, están separadas cierta distancia. ¿Dónde cae el punto en que el campo total se anula?
Dos masas IGUALES están separadas cierta distancia. ¿En qué punto de la recta que las une se anula el campo gravitatorio total?
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Entre las dos, pero más cerca de la masa pequeña — Para igualar los campos hay que estar más cerca de la masa menor.
Para que los dos campos se igualen, el de la masa pequeña necesita ayuda de la distancia: hay que acercarse a ella para que su campo crezca lo suficiente. Cuanto mayor sea la diferencia de masas, más se pega el punto a la pequeña.
Respuesta: En el punto medio: los campos se compensan — Las masas y las distancias iguales dan campos de igual módulo y sentido opuesto.
Cada campo apunta hacia su masa, así que en un punto de en medio los dos van en sentidos opuestos. Con masas iguales el equilibrio cae justo en el centro; con masas distintas se desplaza hacia la pequeña, que es la que necesita menos distancia para igualar.
Signo de la energía gravitatoriaPrueba otro caso
Una nave pasa de tener energía potencial -100 MJ a tener -25 MJ. ¿Qué ha ocurrido?
¿Por qué la energía potencial gravitatoria de un satélite es NEGATIVA?
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Se ha alejado del planeta y ha ganado energía — −25 MJ supera −100 MJ en 75 MJ; al alejarse, aumenta la energía potencial.
Comparar números negativos es donde falla casi todo el mundo: -25 está por encima de -100. Ha subido 75 MJ en la escala, y para subir en un campo gravitatorio hay que alejarse.
Respuesta: El cero se fija en el infinito; el satélite está por debajo — Con ese origen, acercar una masa al planeta disminuye su energía potencial.
El signo sale de dónde se decide poner el cero, y ponerlo en el infinito es lo que hace que la energía mida lo ligado que está el cuerpo: cuanto más negativa, más cuesta soltarlo. Con el cero en el suelo esa lectura se pierde.
Órbita y escapePrueba otro caso
Un mismo satélite pasa de una órbita circular a otra circular de mayor radio alrededor del mismo planeta. Compara su rapidez antes y después de la maniobra, cuando ya está en cada órbita. ¿Qué ocurre?
Dos satélites de masas MUY distintas quieren escapar del mismo planeta desde la misma altura. ¿Qué velocidad necesita cada uno?
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Va más despacio, aunque su energía total sea mayor — En órbitas circulares, v = √(GM/r) disminuye al aumentar el radio.
En cada órbita circular v = √(GM/r) y E = −GMm/(2r). Al aumentar r, disminuye la rapidez y aumenta la energía total, que se hace menos negativa. Esta comparación se refiere a las dos órbitas circulares finales, no a cada instante de la maniobra.
Respuesta: La misma velocidad de escape para ambos — La masa del satélite se cancela al igualar la energía cinética y la necesaria para escapar.
Al escribir que la energía total sea cero, la masa del satélite aparece en los dos términos y se puede dividir por ella: desaparece de la ecuación. Lo que sí depende de la masa es la ENERGÍA que hay que gastar, que es otra pregunta.
Campo, energía y órbita
En un astro con GM = 4,0·10¹⁴ m³/s², un satélite de 500 kg describe una órbita circular de radio 1,0·10⁷ m. Calcula g, velocidad orbital y energía total.
Solución accesible sin interacción
- Demuestra que puedes calcular y representar campos y potenciales creados por masas puntuales o esféricas.
- Demuestra que puedes resolver balances de trabajo y energía conservando el signo del potencial gravitatorio.
- Demuestra que puedes deducir velocidades orbitales y de escape en modelos gravitatorios ideales.
Respuesta: g = 4,0 m/s²; v = 6,32 km/s; E = −1,0·10¹⁰ J.
g = GM/r², v = √(GM/r) y E = −GMm/(2r). Las tres magnitudes usan el mismo radio y el mismo modelo ideal.
Compruébalo ahora
En un punto a 8,0·10⁶ m del centro de un astro con GM = 4,0·10¹⁴ m³/s², calcula g y la fuerza sobre un satélite de 200 kg.
Ver solución explicada
Respuesta: g = 6,25 N/kg hacia el astro; F = 1,25·10³ N hacia el astro.
g = GM/r² = 4,0·10¹⁴/(8,0·10⁶)² = 6,25 N/kg. Después F = mg = 200·6,25 = 1250 N.
Para el satélite de 500 kg del ejemplo, calcula ΔU y el trabajo del campo al pasar de 8,0·10⁶ m a 1,6·10⁷ m.
Ver solución explicada
Respuesta: ΔU = +1,25·10¹⁰ J y Wcampo = −1,25·10¹⁰ J.
UB − UA = (−1,25·10¹⁰) − (−2,50·10¹⁰) = +1,25·10¹⁰ J. El campo realiza el opuesto del cambio de energía potencial.
Calcula las velocidades circular y de escape a r = 1,0·10⁷ m si GM = 4,0·10¹⁴ m³/s².
Ver solución explicada
Respuesta: vorb = 6,32 km/s y vesc = 8,94 km/s.
vorb = √(4,0·10¹⁴/1,0·10⁷) = 6325 m/s. La de escape es √2 veces ese valor: 8944 m/s.
Alineación curricular y fuentes
- Física · 2.º de Bachillerato · bloque A oficial «Campo gravitatorio»: campo, momento angular, energía, movimiento planetario y aplicaciones. · Real Decreto 243/2022, currículo básico de Bachillerato
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