Derivadas: del cambio medio al cambio instantáneo
1.º de BachilleratoRuta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Relacionar tasa de variación media, límite y derivada en un punto.
- Calcular derivadas de funciones sencillas y evaluar su valor.
- Interpretar la derivada como pendiente de tangente y signo de cambio local.
Antes de empezar
- Calcular pendientes de rectas secantes.
- Comprender límites sencillos.
- Operar con potencias y polinomios.
Acercar dos instantes convierte una media en una tasa instantánea
Entre x=a y x=a+h, la tasa media es [f(a+h)−f(a)]/h. Cuando h se acerca a cero, si el cociente tiene límite, aparece la derivada f′(a).
Geométricamente, las rectas secantes se aproximan a la recta tangente. En un contexto, la unidad de la derivada es unidad de salida por unidad de entrada.
- Derivada en un punto
- f′(a) = lim h→0 [f(a+h)−f(a)]/h, si el límite existe. Es una tasa de variación instantánea y la pendiente de la recta tangente a la gráfica en (a,f(a)).
Pasar de cálculo a interpretación
- Identifica las variables y sus unidades.
- Obtén f′(x) mediante la definición o reglas justificadas.
- Evalúa f′(a) en el punto pedido.
- Escribe la tangente como y−f(a)=f′(a)(x−a) si se necesita.
- Interpreta signo y tamaño localmente, sin convertir una observación puntual en una afirmación global.
Tangente a una parábola
Halla la recta tangente a f(x)=x² en x=1.
- f′(x)=2x, por tanto f′(1)=2.
- El punto de contacto es (1,f(1))=(1,1).
- Usa y−1=2(x−1).
La recta tangente es y=2x−1.
Secante y tangente
- Secante
Pasa por dos puntos de la curva y mide cambio medio en un intervalo.
- Tangente
Describe la dirección local en un punto mediante el límite de secantes.
Confundir derivada nula con extremo garantizado
Si f′(a)=0, entonces a es necesariamente máximo o mínimo.
f′(a)=0 señala un punto estacionario; hace falta estudiar el comportamiento alrededor.
Por ejemplo, f(x)=x³ tiene derivada cero en 0 y sigue creciendo a ambos lados.
- La derivada nace como límite de tasas medias.
- Su valor es la pendiente de la recta tangente.
- El signo informa del cambio local.
- Las unidades y el contexto forman parte de la respuesta.
Compruébalo ahora
Para f(x)=x²+3x, calcula f′(2).
Ver solución explicada
Respuesta: 7
f′(x)=2x+3 y f′(2)=4+3=7.
Halla la recta tangente a f(x)=x² en x=1.
Ver solución explicada
Respuesta: y = 2x − 1
La pendiente es f′(1)=2 y la recta pasa por (1,1).
Si f′(0)=−3, ¿qué interpretación puntual es correcta?
- La pendiente de la tangente en 0 es negativa
- La función vale −3 en 0
- La tangente es horizontal
Ver solución explicada
Respuesta: La pendiente de la tangente en 0 es negativa
La derivada proporciona la pendiente y la tasa de cambio instantánea en ese punto; por sí sola no determina f(0) ni garantiza monotonía en todo un entorno.
Alineación curricular y fuentes
- Matemáticas I · 1.º de Bachillerato · sentido de la medida: derivada como cambio en contextos y herramientas de cálculo; secuenciación propia · Real Decreto 243/2022, currículo básico de Bachillerato
Cuando lo tengas claro
Límites y continuidad: acercarse no es llegarFunciones elementales: reconocer la familia y su comportamientoVectores y geometría analítica en el plano