1.º de BachilleratoRuta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Sumar vectores, multiplicarlos por escalares y calcular módulo.
- Usar el producto escalar para estudiar ángulos y perpendicularidad.
- Modelizar rectas, posiciones y distancias en coordenadas cartesianas.
Antes de empezar
- Representar puntos en ejes cartesianos.
- Resolver sistemas lineales de dos ecuaciones.
- Aplicar Pitágoras.
Un vector describe un cambio, no un lugar
Dos flechas con el mismo desplazamiento representan el mismo vector aunque empiecen en puntos distintos. Sus componentes indican cuánto se avanza en cada eje.
La suma encadena desplazamientos y la multiplicación por un escalar modifica módulo y, si el escalar es negativo, también sentido.
- Producto escalar
- Para u = (u₁,u₂) y v = (v₁,v₂), u·v = u₁v₁ + u₂v₂. También vale |u||v|cos θ: por eso un producto cero entre vectores no nulos indica perpendicularidad.
Traducir un problema geométrico
- Elige puntos y vectores directores coherentes.
- Calcula componentes restando extremo menos origen.
- Usa determinación proporcional para paralelismo o producto escalar para perpendicularidad.
- Escribe la recta en una forma adecuada y resuelve las condiciones.
- Interpreta el resultado como posición, intersección, ángulo o distancia.
Distancia entre dos puntos
Calcula la distancia entre A(1,2) y B(5,5).
- El vector AB es (5−1, 5−2) = (4,3).
- Su módulo es √(4² + 3²).
- √25 = 5.
La distancia AB es 5 unidades.
Paralelas y perpendiculares
- Paralelas
Sus vectores directores son proporcionales; no se cortan o representan la misma recta.
- Perpendiculares
Sus vectores directores no nulos tienen producto escalar cero y forman 90°.
Confundir un punto con un vector
Decir que A(2,3) es el vector AB sin conocer B.
Un punto localiza; el vector AB se calcula como B − A.
Las mismas coordenadas pueden escribirse, pero su significado geométrico depende del objeto.
- Los vectores modelizan desplazamientos mediante componentes.
- El producto escalar relaciona componentes con ángulo.
- Las rectas se describen con un punto y una dirección.
- Distancias, posiciones e intersecciones se resuelven traduciendo geometría a álgebra.
Comprueba 1: relaciona y justificaPrueba otro caso
Relaciona cada caso con la conclusión que se deriva de sus datos.
Relaciona el nuevo lote con conclusiones distintas.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: (2,1)+(−1,3) → (1,4); 3(2,−1) → (6,−3); |(3,4)| → 5
Cada correspondencia se obtiene calculando o aplicando la definición indicada.
Respuesta: (−2,5)+(4,−1) → (2,4); −2(1,3) → (−2,−6); |(5,12)| → 13
Cada correspondencia se obtiene calculando o aplicando la definición indicada.
Comprueba 2: decide con evidenciaPrueba otro caso
Para u=(2,1), v=(1,−2), calcula u·v.
Para u=(3,−1), v=(1,3), calcula u·v.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: 0; son perpendiculares — Multiplico las componentes correspondientes y las sumo: 2·1+1·(−2)=2−2=0. Ambos vectores son no nulos y el producto cero indica perpendicularidad.
2·1+1·(−2)=0.
Respuesta: 0; son perpendiculares — El producto escalar suma 3·1+(−1)·3=3−3=0. Al ser dos vectores no nulos, ese resultado permite concluir que son perpendiculares.
3·1+(−1)·3=0.
Comprueba 3: audita la soluciónPrueba otro caso
Audita la recta por A(1,2) con vector director (2,3).
Audita la recta por B(−1,4) con vector director (3,−2).
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Se propone y−2=(2/3)(x−1). → Debe ser y−2=(3/2)(x−1).
La pendiente es incremento vertical entre horizontal.
Respuesta: Se afirma que (2,3) pertenece. → Para x=2 resulta y=2, no 3.
Pertenecer exige satisfacer la ecuación completa.
Reto integrador
Dados A(1,2) y B(4,6), calcula AB, su módulo, una ecuación de la recta y un vector perpendicular.
Solución accesible sin interacción
- Integra los tres objetivos y comprueba el resultado desde los datos.
Respuesta: AB=(3,4), |AB|=5, y−2=(4/3)(x−1), y un perpendicular es (4,−3).
(3,4) determina pendiente 4/3; (3,4)·(4,−3)=12−12=0.
Compruébalo ahora
Como en el paralelogramo de la figura, suma u = (2,1) y v = (−1,3).
Ver solución explicada
Respuesta: (1,4)
Se suman componentes: (2−1, 1+3) = (1,4).
Para u = (2,1) y v = (−1,3), ¿son perpendiculares?
- Sí, porque u·v = 0
- No, porque u·v = 1
- Sí, porque tienen distinto módulo
Ver solución explicada
Respuesta: No, porque u·v = 1
2·(−1) + 1·3 = 1, que no es cero.
Calcula la distancia entre A(1,2) y B(5,5).
Ver solución explicada
Respuesta: 5
El vector AB es (4,3) y su módulo es √(16+9) = 5.
Alineación curricular y fuentes
- Matemáticas I · 1.º de Bachillerato · sentido espacial: resolución de problemas de geometría plana y modelización con herramientas cartesianas y vectoriales; secuenciación propia · Real Decreto 243/2022, currículo básico de Bachillerato