Límites y continuidad: acercarse no es llegar
1.º de BachilleratoRuta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Interpretar un límite desde tabla, gráfica y expresión algebraica.
- Comparar límites laterales y decidir si existe el límite.
- Comprobar continuidad distinguiendo límite y valor de la función.
Antes de empezar
- Evaluar funciones.
- Factorizar polinomios.
- Leer puntos abiertos y cerrados en una gráfica.
El límite pregunta qué ocurre alrededor
lim x→a f(x) describe el valor al que se aproximan las salidas cuando x se acerca a a. Puede existir aunque f(a) no exista o tenga otro valor.
Para que exista un límite finito en un punto, la aproximación por la izquierda y por la derecha debe conducir al mismo número.
- Continuidad en un punto
- f es continua en a si f(a) está definida, existe lim x→a f(x) y ambos valores coinciden. Las tres condiciones son necesarias.
Decidir un límite con tres representaciones
- En una tabla, aproxima a desde valores menores y mayores.
- En una gráfica, sigue cada rama hacia la vertical x = a sin confundir punto abierto con valor asignado.
- En una expresión, sustituye si es continua; si aparece 0/0, transforma sin alterar valores alrededor del punto.
- Compara límite lateral izquierdo y derecho.
- Solo después contrasta el límite común con f(a).
Un hueco que se puede simplificar
Calcula lim x→2 (x²−4)/(x−2).
- La sustitución directa da 0/0, una indeterminación.
- Factoriza x²−4 = (x−2)(x+2).
- Para x distinto de 2 se simplifica a x+2.
- Al acercarse x a 2, x+2 se acerca a 4.
El límite es 4, aunque la expresión original no esté definida en x = 2.
Tres marcas que cuentan historias diferentes
- Hueco evitable
Los dos lados llegan al mismo valor, pero falta el punto o se ha colocado a otra altura.
- Salto
Cada lado se acerca a un valor distinto; el límite bilateral no existe.
Sustituir y detenerse ante 0/0
Concluir que el límite vale 0/0 o no existe.
Reconocer una indeterminación y estudiar una expresión equivalente alrededor del punto.
0/0 no es un resultado; indica que la sustitución directa no decide el límite.
- El límite describe aproximación alrededor del punto.
- Un límite bilateral exige igualdad de los dos límites laterales.
- El valor f(a) y el límite pueden diferir.
- Continuidad exige definición, límite y coincidencia.
Compruébalo ahora
Calcula lim x→2 (x²−4)/(x−2).
Ver solución explicada
Respuesta: 4
Al simplificar para x ≠ 2 queda x+2, que se acerca a 4.
Sea f(x)=x+1 si x<1 y f(x)=3x−1 si x≥1. ¿Es continua en x=1?
- Sí, límite y valor valen 2
- No, el límite izquierdo vale 1
- No, f(1) no existe
Ver solución explicada
Respuesta: Sí, límite y valor valen 2
Por ambos lados se obtiene 2 y la segunda rama asigna f(1)=2.
Si lim x→2 f(x)=4 pero f(2)=7, ¿es continua en x=2?
Ver solución explicada
Respuesta: No
Existe el límite, pero no coincide con el valor de la función.
Alineación curricular y fuentes
- Matemáticas I · 1.º de Bachillerato · sentido algebraico y de la medida: límites desde tabla, gráfica o expresión y continuidad de funciones; secuenciación propia · Real Decreto 243/2022, currículo básico de Bachillerato
Cuando lo tengas claro
Funciones elementales: reconocer la familia y su comportamientoDerivadas: del cambio medio al cambio instantáneoEcuaciones, inecuaciones y sistemas no lineales