1.º de BachilleratoRuta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Traducir una situación a ecuaciones, inecuaciones o sistemas.
- Resolver ecuaciones no lineales, inecuaciones y sistemas con métodos justificables.
- Comprobar soluciones y filtrar las que no cumplen dominio o contexto.
Antes de empezar
- Factorizar polinomios sencillos.
- Resolver ecuaciones lineales y cuadráticas.
- Representar intervalos en la recta real.
Resolver empieza por decidir qué representa cada relación
Una ecuación busca valores que hacen cierta una igualdad; una inecuación describe todos los valores que satisfacen una restricción; un sistema exige cumplir varias condiciones a la vez.
En un problema real, una solución algebraica solo es candidata hasta comprobar el dominio y el sentido de sus unidades.
- Conjunto solución
- Es el conjunto de todos los valores que cumplen la relación original. Puede contener puntos aislados, intervalos, varios pares ordenados o estar vacío.
Modelizar, resolver y validar
- Define incógnitas con unidad y significado.
- Traduce cada condición sin resolver todavía.
- Elige una transformación equivalente o un método gráfico/algebraico apropiado.
- Comprueba cada candidato en la relación original.
- Descarta valores fuera del dominio o imposibles en el contexto y expresa el conjunto solución.
Intersección de una parábola y una recta
Resuelve y = x², y = 2x.
- Iguala las dos expresiones de y: x² = 2x.
- Lleva todo a un miembro: x² − 2x = 0.
- Factoriza: x(x − 2) = 0, así que x = 0 o x = 2.
- Sustituye en y = 2x.
Las soluciones son (0, 0) y (2, 4).
Transformaciones equivalentes y candidatas
- Equivalente
Sumar la misma expresión o multiplicar por un número no nulo conserva exactamente las soluciones.
- Puede introducir candidatos
Elevar al cuadrado o multiplicar por una expresión que puede ser cero exige comprobar después en la ecuación original.
Olvidar el sentido de una desigualdad
Dividir −2x ≥ 6 entre −2 y escribir x ≥ −3.
Al dividir por un número negativo cambia el sentido: x ≤ −3.
La transformación debe conservar qué valores satisfacen la comparación.
- Ecuación, inecuación y sistema describen conjuntos solución distintos.
- La modelización precede a la técnica de cálculo.
- Las inecuaciones suelen producir intervalos.
- Toda solución candidata se comprueba en el original y en el contexto.
Comprueba 1: relaciona y justificaPrueba otro caso
Relaciona cada caso con la conclusión que se deriva de sus datos.
Relaciona el nuevo lote con conclusiones distintas.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Área x(x+3)=40 → Ecuación cuadrática; Beneficio al menos 500 → Inecuación; Intersección de dos curvas → Sistema
Cada correspondencia se obtiene calculando o aplicando la definición indicada.
Respuesta: Producto x(x−2)=15 → Ecuación cuadrática; Temperatura menor que 8 → Inecuación; Dos tarifas iguales → Sistema
Cada correspondencia se obtiene calculando o aplicando la definición indicada.
Comprueba 2: decide con evidenciaPrueba otro caso
Encuentra las raíces de x²−5x+6=0 y compruébalas mediante el producto de sus factores.
Resuelve x²−x−6=0.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: x=2 o x=3 — Busco dos raíces cuya suma sea cinco y cuyo producto sea seis. La factorización (x−2)(x−3)=0 proporciona x=2 o x=3.
Factoriza (x−2)(x−3).
Respuesta: x=−2 o x=3 — Factorizo el polinomio como (x−3)(x+2). El producto se anula si alguno de los factores vale cero, por lo que las raíces son tres y −2.
Factoriza (x−3)(x+2).
Comprueba 3: audita la soluciónPrueba otro caso
Audita √(x+1)=x−1.
Audita √(x+6)=x.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Se aceptan ambas raíces. → Solo x=3 cumple x−1≥0 y la ecuación original.
Cuadrar puede introducir soluciones extrañas.
Respuesta: Se aceptan 3 y −2. → Solo x=3 cumple x≥0 y la ecuación original.
El miembro raíz es no negativo y obliga a validar.
Reto integrador
Dos números positivos suman 7 y su producto es 12. Modeliza, resuelve y valida el sistema.
Solución accesible sin interacción
- Integra los tres objetivos y comprueba el resultado desde los datos.
Respuesta: Son 3 y 4, en cualquier orden.
(x−3)(x−4)=0; las parejas (3,4) y (4,3) cumplen suma, producto y contexto.
Compruébalo ahora
Resuelve x² − 5x + 6 = 0.
Ver solución explicada
Respuesta: x = 2 o x = 3
El polinomio factoriza como (x − 2)(x − 3).
¿En qué dos puntos se cortan y = x² e y = 2x?
Ver solución explicada
Respuesta: (0, 0) y (2, 4)
x² = 2x da x = 0 o 2; sus ordenadas son 0 y 4.
Expresa el conjunto solución de x² − 4 ≤ 0.
Ver solución explicada
Respuesta: [-2, 2]
Entre las raíces −2 y 2, incluida la frontera, el producto (x − 2)(x + 2) no es positivo.
Alineación curricular y fuentes
- Matemáticas I · 1.º de Bachillerato · sentido algebraico: resolución de ecuaciones no lineales, inecuaciones y sistemas en contextos; secuenciación propia · Real Decreto 243/2022, currículo básico de Bachillerato