Números reales y complejos: ampliar para poder resolver
1.º de BachilleratoRuta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Explicar por qué los números complejos amplían a los reales al resolver ecuaciones polinómicas.
- Operar con números complejos en forma binómica y usar conjugado y módulo.
- Interpretar un complejo como un punto o vector en el plano complejo.
Antes de empezar
- Operar con números reales y potencias.
- Desarrollar productos de binomios.
- Aplicar el teorema de Pitágoras en el plano.
Un conjunto numérico se amplía cuando una pregunta queda sin respuesta
En los números reales, x² = −1 no tiene solución: el cuadrado de cualquier real es no negativo. Se introduce la unidad imaginaria i, definida por i² = −1, y con ella aparecen los números complejos a + bi.
Esta ampliación no elimina los reales: cualquier real a es el complejo a + 0i. Así, una ecuación polinómica que no tenía raíces reales puede tener raíces complejas.
- Forma binómica y plano complejo
- En z = a + bi, a es la parte real y b la parte imaginaria. El punto (a, b) representa z: el eje horizontal contiene la parte real y el vertical la imaginaria.
Operar sin perder la regla i² = −1
- En una suma o resta, agrupa por separado partes reales e imaginarias.
- En un producto, distribuye como con binomios y sustituye i² por −1.
- Para dividir, multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador.
- Comprueba la representación: el conjugado refleja el punto respecto del eje real y el módulo es su distancia al origen.
Producto de dos complejos
Calcula (2 + 3i)(1 − i).
- Distribuye: 2 − 2i + 3i − 3i².
- Sustituye i² por −1: −3i² = 3.
- Agrupa partes: 2 + 3 + (−2 + 3)i.
(2 + 3i)(1 − i) = 5 + i.
Conjugado y módulo responden a preguntas distintas
- Conjugado
Si z = a + bi, entonces z̄ = a − bi. Cambia el signo vertical y permite racionalizar divisiones.
- Módulo
|z| = √(a² + b²). Es una longitud, siempre no negativa, y no conserva la dirección del punto.
Tratar i² como si fuera i por i sin cerrar la simplificación
Dejar (3i)(−i) como −3i² y continuar con signo negativo.
Sustituir i² = −1: −3i² = 3.
El cambio de signo es precisamente la regla que define la nueva unidad.
- Los números complejos completan soluciones de ecuaciones polinómicas sin raíces reales.
- Se opera por partes y siempre se reduce i² a −1.
- El conjugado refleja respecto del eje real; el módulo mide distancia al origen.
- Forma algebraica y representación geométrica describen el mismo número.
Compruébalo ahora
Si el punto 3 + 4i está representado por encima del eje real en la figura, ¿qué complejo ocupa su posición reflejada?
Ver solución explicada
Respuesta: 3 − 4i
La reflexión conserva la parte real 3 y cambia el signo de la parte imaginaria.
Calcula el módulo de −5 + 12i.
Ver solución explicada
Respuesta: 13
√((-5)² + 12²) = √169 = 13.
Calcula (2 + 3i)(1 − i) y escribe el resultado en forma binómica.
Ver solución explicada
Respuesta: 5 + i
Al distribuir se obtiene 2 − 2i + 3i − 3i² = 5 + i.
Alineación curricular y fuentes
- Matemáticas I · 1.º de Bachillerato · sentido numérico: operaciones con números reales y vectoriales y números complejos como soluciones de ecuaciones polinómicas sin raíces reales; secuenciación propia · Real Decreto 243/2022, currículo básico de Bachillerato
Cuando lo tengas claro
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas no linealesVectores y geometría analítica en el planoFunciones elementales: reconocer la familia y su comportamiento