Estadística bidimensional: distribuciones, regresión y límites
1.º de BachilleratoRuta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Obtener e interpretar distribuciones conjunta, marginales y condicionadas.
- Comparar regresión lineal y regresión cuadrática según el patrón de datos.
- Interpretar correlación y determinación sin afirmar causalidad ni extrapolar sin fundamento.
Antes de empezar
- Calcular frecuencias relativas.
- Representar pares ordenados.
- Interpretar media y dispersión.
Cada individuo aporta un par de valores
Una variable bidimensional registra (x,y) sobre la misma unidad. Una tabla de doble entrada o una nube de puntos conserva esa asociación; dos listas de medias separadas no.
La distribución conjunta describe combinaciones. Las distribuciones marginales resumen cada variable y las distribuciones condicionadas describen una variable dentro de un grupo fijado de la otra.
- Correlación y coeficiente de determinación
- El coeficiente de correlación lineal r resume dirección e intensidad de una asociación lineal. En regresión lineal simple, R² expresa la proporción de variabilidad de la respuesta explicada por ese modelo en los datos analizados. Ninguno demuestra causa.
Elegir y juzgar un ajuste
- Representa los pares y busca forma, dirección, dispersión y valores atípicos.
- Prueba regresión lineal si la nube se organiza aproximadamente alrededor de una recta.
- Considera regresión cuadrática si aparece curvatura sistemática compatible con una parábola.
- Compara residuos y coeficiente de determinación dentro del mismo conjunto.
- Predice con cautela dentro del rango observado y separa asociación de causalidad.
Un patrón cuadrático visible
Los pares son (−2,4), (−1,1), (0,0), (1,1), (2,4).
- La nube baja hasta (0,0) y vuelve a subir de forma simétrica.
- Una recta no puede seguir ambos brazos sin residuos sistemáticos.
- La relación y=x² pasa por los cinco puntos.
La regresión cuadrática es adecuada para este conjunto; la lineal ocultaría la curvatura.
Describir no es explicar
- Asociación
Dos variables cambian conjuntamente en la muestra y un modelo puede resumir el patrón.
- Causalidad
Afirmar que una produce la otra requiere diseño y evidencia adicionales. Correlación no implica causalidad.
Elegir siempre la recta por costumbre
Calcular r y concluir que no hay relación porque una nube en U da correlación lineal baja.
Mirar primero la forma y valorar un ajuste cuadrático si la curvatura es sistemática.
Un coeficiente lineal bajo solo descarta asociación lineal fuerte, no toda relación.
- La distribución conjunta conserva los pares; marginales y condicionadas responden a otras preguntas.
- La nube de puntos guía la elección entre regresión lineal y cuadrática.
- r mide asociación lineal; R² valora el ajuste del modelo en esos datos.
- Correlación no implica causalidad y extrapolar aumenta el riesgo.
Compruébalo ahora
Los pares (1,2), (2,4), (3,6), (4,8) siguen exactamente una relación. Escribe la recta.
Ver solución explicada
Respuesta: y = 2x
Cada valor de y duplica x, sin residuo.
Para (−2,4), (−1,1), (0,0), (1,1), (2,4), ¿qué ajuste reproduce la forma?
- Regresión lineal y=0
- Regresión cuadrática y=x²
- Una recta vertical
Ver solución explicada
Respuesta: Regresión cuadrática y=x²
Los cinco puntos satisfacen exactamente y=x² y forman una U.
En una regresión lineal simple, R²=0,81. ¿Qué interpretación prudente admite?
Ver solución explicada
Respuesta: El modelo explica el 81 % de la variabilidad observada de la respuesta en esos datos
El coeficiente de determinación valora el ajuste; no prueba causalidad ni garantiza predicción fuera del rango.
Alineación curricular y fuentes
- Matemáticas I · 1.º de Bachillerato · sentido estocástico: distribución conjunta, distribuciones marginales y distribuciones condicionadas; regresión lineal y cuadrática; correlación, determinación y causalidad; secuenciación propia · Real Decreto 243/2022, currículo básico de Bachillerato
Cuando lo tengas claro
Funciones elementales: reconocer la familia y su comportamientoProbabilidad en experimentos simples: observar y contarLímites y continuidad: acercarse no es llegar